Question

5．如图所示，小圆环A套在竖直平面内的半圆弧轨道C上，可以沿C轨道无摩擦滑动．轻细绳两端分别与圆环A和小物体B相连，并且挂在C轨道右上端的一个轻质小滑轮上．设小圆环A的质量m_A=4.0kg，小物体B的质量m_B=2.0kg，轨道C的半径R=1.0m．现在把小圆环A移动到半圆弧轨道C的最低点后无初速释放，求：
（1）小圆环A能上升的最大高度；
（2）小圆环A上升过程中可能达到的最大速率．（本题可以用图形计算器工具）

Answer 1

分析 （1）A与B组成的系统除了重力外没有其他力做功，系统机械能守恒，根据机械能守恒定律求A能上升的最大高度；
（2）根据系统的机械能守恒和两个物体速度关系列式，得出A的速率与小圆环处的半径与竖直方向的夹角θ的关系式，再由数学知识求解．

解答 解：（1）设小圆环上升到最大高度时小圆环处的半径与竖直方向的夹角为θ，环半径为r，由机械能守恒得：
   m_Ag（r-rcosθ）=m_Bg[$\sqrt{2}$r-2rsin（45°-$\frac{θ}{2}$）]
代入数据得   2（1-cosθ）=$\sqrt{2}$-2sin（45°-$\frac{θ}{2}$）
解得 θ=51.487°，h=r-rcosθ=0.3773m
（2）由机械能守恒得：m_Bg[$\sqrt{2}$r-2rsin（45°-$\frac{θ}{2}$）]-m_Ag（r-rcosθ）=$\frac{1}{2}$m_Av²+$\frac{1}{2}$m_B[vcos（45°-$\frac{θ}{2}$）]²，
解得 v²=$\frac{20[\sqrt{2}-2sin（45°-\frac{θ}{2}）]-40（1-cosθ）}{2+co{s}^{2}（45°-\frac{θ}{2}）}$
当θ=23.9824°，环A上升过程中达到的最大速率 v=1.060m/s
答：
（1）小圆环A能上升的最大高度是0.3773m；
（2）小圆环A上升过程中可能达到的最大速率是1.060m/s．

点评 本题属于连接体问题，接触面光滑，没有阻力，除了重力也没有其他外力对系统做功，故一定要挖掘出系统的机械能守恒，并要知道两个物体速度的关系．