Question

（16分）如图甲所示，两水平放置的平行金属板A、B的板长，板间距离d=0.10m，在金属板右侧有一范围足够大，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=1.0×10^-2T，其左边界为y轴．在t=0时刻，两金属板间加如图乙所示的正弦交变电压．现从t=0开始，位于极板左侧的粒子源沿x轴向右以1000个/秒的数量连续均匀发射带正电的粒子，粒子均以的初速度沿x轴进入电场，经电场后部分粒子射入磁场．已知带电粒子的比荷，粒子通过电场区域的极短时间内，极板间的电压可以看作不变，不计粒子重力，不考虑极板边缘及粒子间相互影响．试求：

（1）t＝0时刻进入的粒子，经边界y轴射入磁场和射出磁场时两点间的距离；
（2）每秒钟有多少个粒子进入磁场；
（3）何时刻由粒子源进入的带电粒子在磁场中运动时间最长，求最长时间t_m（π≈3）．

Answer 1

（1）1.38m（2）每秒钟有500个粒子进入磁场（3）t_m="3.2" ×10^-5s

试题分析：（1）t＝0时，U_AB=0，带电粒子在极板间不偏转，水平射入磁场，
由：  (1分) 得：    (1分)
射入和射出磁场时，两点间的距离为 (1分)
（2）假设两极板电压为u时，由O点射入的粒子刚好从板的边缘进入磁场，则有
 (1分) ； (1分)；  (1分)；  (1分)；
解得：  (1分)
由乙图可知，在每个周期内，只有，，时间段内由O射入的粒子才能通过电场进入磁场，即只有半个周期内有粒子能进入磁场，所以每秒钟有500个粒子进入磁场．（2分）
（3）只有当A板电势高于B板电势，且沿B板右侧边缘进入磁场的粒子，由于在电场中的偏转角最大，使得其在磁场中做圆周运动对应的圆心角最大，故在磁场中运动的时间最长，如图所示．即：,（……）(1分)

或：,（……）(1分)
这些时刻入射的粒子在磁场中运动的时间最长．
由带电粒子在电场中做类平抛运动的特点可得： ，θ=30°（1分）
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，所求的最长 时间为t_m，则有：（1分）
由几何关系得粒子在磁场中运动的圆心角为，
则： （1分） 解得：t_m="3.2" ×10^-5s（1分
点评：本题难度较大，如果粒子以垂直磁场边界射入，必垂直磁场边界射出，处理带电粒子在匀强磁场中的偏转问题，首先要先画出大概的运动轨迹，先找圆心后求半径，处理边界磁场问题时，应巧妙应用对称性是解题的技巧