Question

【题目】如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的半圆弧轨道BCD组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且左端与粗糙水平台等高．水平台与物块P间的滑动摩擦因数为μ=0.2，水平台上有一弹簧，弹簧左端固定，弹簧右端与一个质量为m1=5kg的小物块接触但不固定，此时弹簧处于压缩状态并锁定，弹簧的弹性势能EP=100J．现解除弹簧的锁定，小物块P从M点出发，MN间的距离为d=lm．物块P到N点后与静止在小车左端的质量为m2=lkg的小物块Q（可视为质点）发生弹性碰撞（碰后立即将小物块P取走，使之不影响后续物体的运动）．已知AB长为L=10m，小车的质量为M=3kg．取重力加速度g=10m/s2 ，

（1）求碰撞后瞬间物块Q的速度大小，
（2）若物块Q在半圆弧轨道BCD上经过一次往返运动（运动过程中物块始终不脱离轨道），最终停在小车水平部分AB的中点，求半圆弧轨道BCD的半径至少多大？
（3）若小车上表面AB和半圆弧轨道BCD面均光滑，半圆弧轨道BCD的半径为R=1.2m，物块Q可以从半圆弧轨道BCD的最高点D飞出，求其再次落回小车时，落点与B点的距离S为多少？（结果可用根号表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：物块P被弹簧弹开运动到N点速度为v1，由能量守恒得：

代入数据解得v1=6m/s．

物块P、Q发生弹性碰撞，碰后P、Q的速度为v1'、v2，规定向右为正方向，

m1v1=m1v1′+m2v2，

代入数据解得：v1'=4m/s，v2=10 m/s或v1'=6m/s，v2=0 （舍）．

答：碰撞后瞬间物块Q的速度大小为10m/s．

（2）物块Q从开始运动到与小车相对静止过程，共同速度为v3，系统动量守恒，规定向右为正方向，有：

m2v2=（m2+M）v3，

代入数据解得：v3=2.5m/s，

系统能量守恒： ，

代入数据解得：μ=0.25．

Q至C点与车共速时，半径R最小，系统能量守恒，有： ，

代入数据解得：R=1.25m．

答：半圆弧轨道BCD的半径至少为1.25m．

（3）设Q通过D点时，Q与小车的速度分别为v4、v5系统动量、能量守恒，规定向右为正方向，

m2v2=m2v4+Mv5，

m2g2R

解得：v4=﹣2m/s，v5=4 m/s或v4=7m/s，v5=1 m/s（舍）

物块Q通过D点时相对小车的速度为：v4′=6 m/s，

物块Q再次落回小车时与物块的距离为：s= ，

代入数据解得：s= ．

答：落点与B点的距离S为 ．

【解析】（1）弹簧弹开的过程，弹簧弹性势能转化成为内能和动能。再结合动量守恒分析即可。
（2）物块和小车组成的系统，动量守恒。求出共同速度。再结合能量守恒定律，列式求解即可。
（3）根据动量守恒能量守恒求出Q通过D点时的速度，再利用平抛运动的规律求出，物块与小车之间的位移。