Question

8．磕头虫是一种不用足跳但又善于跳高的小甲虫．当它腹朝天、背朝地躺在地面时，将头用力向后仰，拱起体背，在身下形成一个三角形空区，如图（a）所示，然后猛然收缩体内背纵肌，使重心迅速向下加速，背部猛烈撞击地面，如图（b）所示，地面反作用力便将其弹向空中，将体内储存的能量转变成机械能，而这样的弹射动作会发出嗒嗒响声，因而使此虫得名．弹射录像显示，一个质量为m=4.0×10^-6kg的磕头虫拱背过程中重心直接上升了大约d=1mm的距离，即图（a）中重心的高度，然后由静止突然向下加速（视为匀加速）同一距离撞地反弹，弹射最大高度为h=20cm，假设撞地前后速度大小不变，撞地过程时间极短，约为0.01s．取重力加速度为10m/s²，求：
（1）撞地后反弹时的速度有多大？
（2）人类的起跳方式是先屈腿下蹲，然后突然蹬地向上加速（视为匀加速），事实上人类起跳的加速度约为磕头虫加速阶段加速度的$\frac{1}{250}$倍，如果一个成人在加速过程中重心上升的高度为D，那么人在离地后重心还能上升的高度为多少？（用字母d、h、g和D表示）
（3）如果把磕头虫撞击地面过程中受到的撞击力看成是恒力，请计算磕头虫在上述撞击过程中受到的撞击力为重力的多少倍？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出撞地后反弹的速度大小．
（2）根据匀变速直线运动的速度位移公式，联立方程求出人在离地后重心还能上升的高度．
（3）根据加速度的定义式求出磕头虫与地面接触过程中的加速度，根据牛顿第二定律求出磕头虫在上述撞击过程中受到的撞击力为重力的倍数．

解答 解：（1）磕头虫上升阶段做加速度为g的匀减速运动，有公式2gh=v²   ①
解得$v=\sqrt{2gh}=2m/s$
（2）设磕头虫在匀加速向下运动阶段的加速度为a₁，人在起跳加速阶段的加速度为a₂，
对磕头虫的加速阶段有   2a₁d=v²   ②
由①和②式得到磕头虫离地的最大高度为$h=\frac{a_1}{g}d$③
同理可得人的最大离地高度为$H=\frac{a_2}{g}D$④
由③和④式得到$H=\frac{{{a_2}D}}{{{a_1}d}}h=\frac{Dh}{250d}$
（3）磕头虫脊背撞地前后的速度大小都为v=2m/s
其加速度为$a=\frac{△v}{△t}=\frac{v-（-v）}{△t}=400m/{s^2}$⑤
可写成是a=40g   ⑥
根据牛顿第二定律  F_N-mg=ma   ⑦
得到F_N=41mg     
答：（1）撞地后反弹时的速度为2m/s；
（2）人在离地后重心还能上升的高度为$\frac{Dh}{250d}$；
（3）磕头虫在上述撞击过程中受到的撞击力为重力的41倍．

点评 解决本题的关键理清物体在整个过程中的运动规律，结合匀变速直线运动的运动学公式灵活求解，难度不大．