Question

7．如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg，当AC和BC均拉直时∠ABC=90°，∠ACB=53°，ABC能绕竖直轴AB匀速转动，因而C球在水平面内做匀速圆周运动，求：
（1）当m的线速度增大时，AC和BC（BC=1m）哪条绳先断？绳断时球速是多少？
（2）一条绳被拉断后，m的速率继续增加，另一条绳断时球速是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）当小球线速度增大时，BC逐渐被拉直，小球线速度增至BC刚被拉直时，对小球进行受力分析，合外力提供向心力，求出A绳的拉力，线速度再增大些，T_A不变而T_B增大，所以BC绳先断；
（2）当BC绳断之后，小球线速度继续增大，小球m作离心运动，AC绳与竖直方向的夹角α增大，对球进行受力分析，根据合外力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）当小球线速度增大时，BC逐渐被拉直，小球线速度增至BC刚被拉直时，
对球：T_Asin∠ACB-mg=0…①
${T_A}cos∠ACB+{T_B}=m\frac{v^2}{r}$…②
由①可求得AC绳中的拉力${T_A}=\frac{5}{4}mg$，
线速度再增大些，T_A不变而T_B增大，所以BC绳先断．
当BC绳刚要断时，拉力为2mg，
则：$\frac{5}{4}mgcos53°+2mg=\frac{m{v}^{2}}{r}$  ③
代入数据解得：v=5.24m/s
（2）绳子AC的长度：L=$\frac{BC}{cos53°}=\frac{5}{3}$m
当BC绳断之后，小球线速度继续增大，小球m作离心运动，AC绳与竖直方向的夹角α增大，对球：T'_Acosα-mg=0…④
${T'_A}sinα=m\frac{v^2}{r'}$…⑤
可以求得当α=60°时，T_AC=2mg，线速度再增大，则AC即断． 
此时：$r′=L•cos30°=\frac{5\sqrt{3}}{6}$m
代入数据解得：v=6.35m/s．
答：（1）当m的线速度增大时，BC（BC=1m）绳先断，绳断时球速是5.24m/s
（2）一条绳被拉断后，m的速率继续增加，另一条绳断时球速是6.35m/s．

点评 解决本题的关键是搞清向心力的来源，运用牛顿第二定律进行求解，难度适中．