Question

18．半径为R的半圆形区域内充满匀强磁场，磁场方向与半圆形区域垂直．在半圆形的圆心O处持续射出垂直磁场方向的一定速率范围的电子，电子质量为m，电量为e，出射方向与半圆直径的夹角θ=45°，如图（a）所示．控制电子速率，使其不能穿出半圆形的圆弧部分．

（1）在此条件下要使这些电子在磁场中达到的区域最大，请判断磁场的方向（按图说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”）；
（2）在答题纸（a）图上画出满足（1）条件下的电子经过的所有区域（并用斜线表示）；
（3）若匀强磁场的磁感应强度为B，在满足（2）的条件下，求电子的速率范围；
（4）若在圆心O处持续射入一定速率范围的电子与半圆的直径的夹角θ可以在0°到180°范围连续可调，磁感应强度B随电子的最大速率变化而变化，要使这些电子在磁场中达到的区域最大，电子的出射方向与半圆直径的夹角应为多大？在（b）图上画出电子的速率v与磁感应强度B应满足的v-B图线，并在B轴上标识出最大速度v_m时，对应的B值．

Answer 1

分析 （1）电子在磁场中向左偏转时，电子在磁场中到达的区域最大，由左手定则判断磁场方向；
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，根据电子运动轨迹作图；
（3）洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律求出电子速率；
（4）电子做匀速圆周运动，分析清楚电子运动过程，应用牛顿第二定律求出磁感应强度，然后答题．

解答 解：（1）要使这些电子在磁场中能达到的区域大，电子必须逆时针方向转动，
根据左右定则可知，磁场方向为垂直纸面向外． 
（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，电子在磁场中到达的区域最大，
电子应沿逆时针方向转动，电子经过的区域如图所示：

（3）最大速率的电子运动的轨迹恰好与半圆形磁场区域的圆弧部分相切，
如上图所示，由几何知识可知，其轨迹半径：r=$\frac{1}{2}$R，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
ev_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{r}$，解得：v_m=$\frac{eBR}{2m}$，
所以电子的速率范围是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）当电子运动的轨迹恰好与半圆形磁场区域的圆弧顶部相切时，
这些电子在磁场中达到的区域最大，此时，轨迹圆心在O点正上方$\frac{1}{2}$R处，
电子的出射方向与半圆直径的夹角为0°．
电子在磁场中达到的区域如图（c）所示：


由牛顿第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
可得电子的速率v与磁感应强度B应满足的关系式：v=$\frac{eR}{2m}$B，
由于e、R、m均为常数，所以电子的速率v与磁感应强度B成正比，图线如图（b）所示：

答：（1）要使这些电子在磁场中达到的区域最大，磁场的方向：垂直纸面向外；
（2）如图所示；
（3）若匀强磁场的磁感应强度为B，在满足（2）的条件下，电子的速率范围是：0≤v≤$\frac{eBR}{2m}$；
（4）要使这些电子在磁场中达到的区域最大，电子的出射方向与半圆直径的夹角应为0°，如图所示．

点评 本题考查了电子在磁场中的运动，分析清楚电子运动过程、应用左手定则是解题的关键，分析清楚电子运动过程后作出电子运动轨迹，应用牛顿第二定律可以解题．