Question

如图1所示，平行金属板A和B的距离为d，它们的右端放着垂直金属板的靶MN．现在A、B板上加上如图2所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U₀，反向值也为U₀，现有质量为m的带正电且电量为q的粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向OO′先后射入．设粒子能全部打在靶MN上，而且所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响，试问：

（1）在距离靶MN的中心O′点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件？
（3）电场力对每个击中O′点的带电粒子做的总功是多少？

Answer 1

分析：（1）根据粒子在电场中做曲线运动，由水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速运动，并根据运动学公式，即可求解；
（2）由第（1）问结果，根据偏转位移小于等于间距的一半，即可求解；
（3）根据电场力做功相等，即可求解．

解答：解：（1）粒子在电场中运动时，水平方向始终作匀速直线运动，竖直方向作匀变速运动．
当粒子在t=nT时刻进入电场向下的侧移最大．
先向下匀加速运动位移s1=

1

2

qu0

md

(

2T

3

)2，
此时速度为v1=at1=

quo

md

?

2T

3

．
然后向下匀减速运动位移s2=v1t2-

1

2

a

t

2 2

=(

quo

md

?

2T

3

)?

T

3

-

1

2

qu0

md

(

T

3

)2
所以：粒子向下的最大侧位移为s=s1+s2=

7u0qT2

18md

当粒子在t=nT+

2T

3

时刻进入电场向上侧移最大．先向上匀加速运动后向上匀减速运动，再向下匀减速运动．
所以粒子打在靶子上时向上的最大侧位移为s/=

1

2

qu0

md

(

T

3

)2=

qu0T2

18md

所以：在距靶子中心O′点下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范围内有粒子击中．
（2）要使粒子能全部打在靶子上需满足的条件为：

7u0qT2

18md

≤

d

2

，
化简得：uo≤

9md2

7qT2

 
（3）当粒子出电场时，电场力对所有的粒子做的功都相同，为W=

1

2

m

v

2 y

=

q2T2 u 2 0

18md2

答：（1）在距靶子中心O′点下方

7u0qT2

18md

至上方

qu0T2

18md

范围内有粒子击中；
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件：uo≤

9md2

7qT2

 ；
（3）电场力对每个击中O′点的带电粒子做的总功是

q2T2 u 2 0

18md2

．

点评：考查粒子做曲线运动时，如何将运动进行分解处理，理解分运动的等时性，掌握运动学公式的应用，并知道做功的表达式及其正负．