Question

7．如图所示，P、Q为水平面内平行放置的金属长直导轨，间距为L₁=0.5m，处在磁感应强度大小为B₁=0.7T、方向竖直向下的匀强磁场中，一根质量为M=0.3kg、电阻为r=1Ω的导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，导体杆ef与P、Q之间的动摩擦因数为μ=0.1．在外力作用下导体杆ef向左做匀速直线运动，质量为m=0.2kg、每边电阻均为r=1Ω、边长为L₂=0.2m的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，金属框处在磁感应强度大小为B₂=1T、方向垂直框面向里的匀强磁场中，金属框恰好处于静止状态，重力加速度g=10m/s²，不计其余电阻和细导线对a、b点的作用力，求：
（1）通过ab边的电流I_ab；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度v；
（3）t=1s时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功；
（4）外力做功的功率P_外．

Answer 1

分析 （1）外电路是：ad、dc、cb三边电阻串联后再与ab边电阻并联构成，竖直方向上ab边与cd边所受安培力均向上，根据受力平衡列方程即可求解，注意并联电路中电流与电阻关系．
（2）根据闭合电路欧姆定律求出电源的电动势，根据E=BLv，即可求出导体棒的速度．
（3）摩擦力是恒力，可以直接用功的定义式求解．
（4）根据平衡条件，外力F等于安培力和摩擦力之和，求出F，用P=Fv求解．

解答 解：（1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为I_ab，dc边的电流为I_dc，有：
I_ab=$\frac{3}{4}$I
I_cd=$\frac{1}{4}$I
金属框受重力和安培力，处于静止状态，有：mg=B₂I_abL₂+B₂I_dcL₂
联立三式解得：I_ab=$\frac{3mg}{4{B}_{2}{L}_{2}}$
故通过ab边的电流I_ab是：I_ab=$\frac{3mg}{4{B}_{2}{L}_{2}}$
代入数据，解得：I_ab=$\frac{3×0.2×10}{4×1×0.2}$=7.5A．
（2）由（1）可得：I=$\frac{mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$
设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有：E=B₁L₁v
设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则：R=$\frac{3}{4}$r
R与ef串联的总电阻R_总=$\frac{3}{4}$r+r=$\frac{7}{4}$r 
ef由于运动切割磁感线而产生的电动势E=B₁L₁v
根据闭合电路欧姆定律，有：I=$\frac{E}{{R}_{总}}$
联立以上各式：$\frac{mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}v}{\frac{7r}{4}}$
则有：v=$\frac{7mgr}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
代入数据，解得：v=50m/s．
故导体杆ef的运动速度50m/s．
（3）摩擦力为恒力，可以用功的定义式求解：
W_f=μMgs=μMgvt=$\frac{7μMm{g}^{2}r}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$t；
代入数据，解得：W_f=15J
（4）ef棒在水平方向上受到外力F、安培力、摩擦力，根据平衡条件可知
F=F_A+μMg
因为F_A=B₁IL₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}mg}{{B}_{2}{L}_{2}}$
所以外力F的功率为：
P_外=Fv=（F_A+μMg）v=$\frac{7{m}^{2}{g}^{2}r}{4{B}_{2}^{2}{L}_{2}^{2}}$+$\frac{7μMm{g}^{2}r}{4{B}_{1}{B}_{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
代入数据，解得：P_外=190W
答：（1）通过ab边的电流I_ab为7.5A；
（2）导体杆ef做匀速直线运动的速度为50m/s；
（3）t=1s时间内，导体杆ef向左移动时克服摩擦力所做的功15J；
（4）外力做功的功率为190W．

点评 本题易错点为不能正确分析外电路的串并联情况，从而不能正确分析安培力大小最后导致错误．对于电磁感应与电路的结合问题一定分析整个电路的组成情况，然后根据闭合电路的欧姆定律求解．