Question

6．如图，水平圆盘可以绕通过盘心的竖直轴OO′转动，盘上放着两个用细线相连质量均为m的小木块P和Q，他们与盘面间的最大静摩擦力均为F_m．P、Q位于圆盘的同一条直径上，距盘心的距离分别为r_P和r_Q，且r_P＜r_Q．若开始时细线刚好处于自然伸直状态（即细线对木块的拉力为0），现使圆盘缓慢加速转动，试分析：
（1）圆盘的角速度ω₁多大时，细线才开始有拉力？
（2）圆盘的角速度由ω₁继续增大，分析说明 P、Q所受的摩擦力及细线的拉力的变化情况．
（3）圆盘的角速度ω₂多大时，P、Q才会开始与圆盘间有相对滑动？

Answer 1

分析 （1）由于物体Q需要的向心力大，如果没有细线，故物体Q先有滑动，故根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）如果没有细线，随着角速度的增加，物体Q、P会先后滑动，有细线的约束后，最终会向Q远离圆心的方向进行；
（3）考虑恰好滑动的临界情况，两个物体均受滑动摩擦力，对两个物体分别根据牛顿第二定律列式分析即可．

解答 解：（1）随圆盘缓慢加速转动，P、Q可看做匀速圆周运动，其角速度逐渐缓慢增加．开始时，静摩擦力提供他们做圆周运动的向心力，由于r_P＜r_Q，Q做圆周运动所需向心力较大；随转速增加，它们受到的静摩擦力也增大，角速度达到ω₁时，Q先达到最大静摩擦力，此后细线将开始有拉力；
根据牛顿第二定律，有：${F_m}=mω_1^2{r_Q}$，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{{F}_{m}}{m{r}_{Q}}}$；
（2）随角速度继续增加，P、Q的向心力也增大．Q的向心力由最大静摩擦力和拉力共同提供，Q受的静摩擦力大小和方向不变，细线的拉力也逐渐增大；
P的向心力也由静摩擦力和拉力共同提供，随细线的拉力增大，P受到的静摩擦力减小，一直到静摩擦力减为0，然后出现静摩擦力方向改为背离圆心的方向，并且逐渐增大，直到最大静摩擦．
 （3）角速度达到ω₂时，P受到静摩擦力达到最大静摩擦力，细线拉力设为F_T，P、Q将要开始相对于圆盘滑动．
对于Q，有：${F_T}+{F_m}=mω_2^2{r_Q}$，
对于P，有：${F_T}-{F_m}=mω_2^2{r_p}$，
解得：ω₂=$\sqrt{\frac{{2{F_m}}}{{m（{r_Q}-{r_P}）}}}$；
答：（1）圆盘的角速度ω₁为$\sqrt{\frac{{F}_{m}}{m{r}_{Q}}}$时，细线才开始有拉力；
（2）圆盘的角速度由ω₁继续增大，Q受的静摩擦力大小和方向不变，细线的拉力逐渐增大；P受到的静摩擦力减小，一直到静摩擦力减为0，然后出现静摩擦力方向改为背离圆心的方向，并且逐渐增大，直到最大静摩擦；
（3）圆盘的角速度ω₂为$\sqrt{\frac{{2{F_m}}}{{m（{r_Q}-{r_P}）}}}$时，P、Q才会开始与圆盘间有相对滑动．

点评 本题是圆周运动问题，关键明确物体P、Q的向心力来源，注意物体P受摩擦力方向的变化，然后根据牛顿第二定律列式求解．