Question

20．目前世界上正在研究的一种新型发电机叫磁流体发电机，如图所示是它的发电原理：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有足够多带正电和负电的微粒，整体呈中性），喷射入磁场，磁场中有两块平行金属板A、B，这时金属板上就会聚集大量电荷，产生电压．设平行金属板A、B长为a、宽为b，两板间距为d，其间有匀强磁场，磁感应强度为B，等离子体的流速为v，电阻率为ρ，外接一个负载电阻，等离子体从一侧沿垂直磁场且与极板平行方向射入极板间．
（1）从两个角度推导发电机电动势的表达式E=Bdv；
（2）若负载电阻为可变电阻，请证明当负载电阻等于发电机的内阻时，发电机的输出功率最大，并求发电机的最大输出功率P_m；
（3）若等离子体均为一价离子，外接一个负载电阻为R，电荷量为e，每秒钟有多少个离子打在A极板上？

Answer 1

分析 （1）依据电动势定义式，或电场力与洛伦兹力平衡，即可求解；
（2）根据P=I²R，导出输出功率表达式，依据数学知识，即可求得；
（3）根据闭合电路欧姆定律，结合电量表达式，及 $n=\frac{Q}{e}$，即可确定．

解答 解：（1）角度1：由电动势定义可得：$E=\frac{W}{q}$
而W=fd，且f=qvB
解得：E=Bdv
角度2：当达到平衡时，qE_场=qvB
E_场=$\frac{E}{d}$
解得：E=Bdv
角度3：利用等效替代的思想，将等离子体束看成一根导体棒在磁场中做切割运动
则有：E=Bdv
（2）由于P=I²R，
当负载电阻和内电阻相等时，输出功率最大${p_m}=\frac{E^2}{4r}$$r=ρ\frac{d}{ab}$
解得：${p_m}=\frac{{{B^2}{d^2}{v^2}}}{{4ρ\frac{d}{ab}}}=\frac{{{B^2}{v^2}abd}}{4ρ}$
（3）根据闭合电路欧姆定律，$I=\frac{E}{R+r}$=$\frac{Bdv}{R+r}$
由于 $n=\frac{Q}{e}$，且Q=It
则$n=\frac{Q}{e}=\frac{Bdv}{（R+r）e}=\frac{Bdvab}{（abR+ρd）e}$
答：（1）推导过程，如上所述；
（2）证明如上，且发电机的最大输出功率$\frac{{B}^{2}{v}^{2}abd}{4ρ}$；
（3）若等离子体均为一价离子，外接一个负载电阻为R，电荷量为e，每秒钟有$\frac{Bdvab}{（abR+ρd）e}$个离子打在A极板上．

点评 考查感应电动势表达式的推导，掌握何时输出功率最大，理解闭合电路欧姆定律的应用，注意表达式正确运算，并理解磁流体发电机原理．