Question

14．容器A中装有大量的质量、电量不同但均带正电的粒子，粒子从容器下方的小孔S_l不断飘人加速电场（初速度可视为零）做直线运动通过小孔S₂后，从两平行板中央垂直电场方向射人偏转电场．粒子通过平行板后垂直磁场方向进入磁感应强度为B，方向垂直向里的匀强磁场区域，最后打在感光片上，如图所示．已知加速场S₁、S₂间的加速电压为u，偏转电场极板长为L，两板间距也为L，板间匀强电场强度E=$\frac{2U}{L}$．方向水平向左（忽略板间外的电场），平行板f的下端与磁场边界ab相交为p，在边界pb上固定放置感光片．测得从容器A中逸出的所有粒子均打在感光片P、Q之间，且Q距P的长度为3L，不考虑粒子所受重力与粒子间的相互作用，求：
（1）粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab间的夹角；
（2）射到感光片Q处的粒子的比荷（电荷量与质量之比）；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间．

Answer 1

分析 （1）粒子先经过加速电场的加速后进入水平匀强电场做类平抛运动，由速度的方向公式直接能求出末速度方向，这是为后续计算做一个铺垫．
（2）粒子从e板下端与水平方向成45⁰的角射入匀强磁场，偏转270°后打在Q点，由几何关系求出粒子做匀速圆周运动的半径，再由洛仑兹力提供向心力就能求出粒子的比荷．
（3）先判断出打在何处的粒子的时间最短，由于$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{θ}{2π}×\frac{2πm}{qB}=\frac{θm}{qB}$，即电量最大的粒子时间最短，再由半径公式$r=\frac{mv}{qB}$知电量最大则半径最小，所以打在P点的粒子时间最短．

解答 解：（1）设质量为m，电量为q的粒子通过孔S₂的速度为v₀    由动能定理：
   $qU=\frac{1}{2}m{v_o}^2$
  粒子在平行板间：L=v_ot
  ${v_x}=\frac{qE}{m}t$
  $tanθ=\frac{v_o}{v_x}$
  联解以上四式得：tanθ=1     $θ=\frac{π}{4}$
  其速度方向与边界ad间的夹角$θ=\frac{π}{4}$
（2）粒子从e板下端与水平方向成45⁰的角射入匀强磁场．设质量为m．电量为q的粒子射入
   磁场时的速度为v，做圆周运动的轨道半径为r  由速度合成知：
   $v=\sqrt{{v_o}^2+{v_x}^2}=\sqrt{2}{v_o}=\sqrt{\frac{4qU}{m}}$
  粒子进入磁场后偏转270°，由几何关系可知：r²+r²=（4L）²    所以有：$r=2\sqrt{2}L$
 又因为  $r=\frac{mv}{qB}$
  联解以上三式得：$\frac{q}{m}=\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
  粒子的比荷为：$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$
（3）设粒子在磁场中运动的时间为t   则：$t=\frac{θm}{qB}$
   $r=\frac{mv}{qB}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}$
   联解以上两式得：$t=\frac{{θB{r^2}}}{4U}$
  因为所有粒子在磁场中运动的偏转角$θ=\frac{3}{2}π$，所以粒子打在P处时间最短
  由几何知：r²+r²=L²     而 $r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}L$
  联解以上四式得$t=\frac{{\frac{3}{2}πB×\frac{L^2}{2}}}{4U}=\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
  粒子在磁场中的最短时间$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$
答：（1）粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab间的夹角为$\frac{π}{4}$．
（2）射到感光片Q处的粒子的比荷为$\frac{U}{{2{L^2}{B^2}}}$．
（3）粒子在磁场中运动的最短时间为$\frac{{3πB{L^2}}}{16U}$．

点评 本题有几个巧妙的地方：①加速电压与偏转电压有一定的关系，导致进入磁场的速度方向是一个定值即45°．②由于粒子的质量而电量不同，所以从加速电场出来的速度不同，则进入偏转电场后再进入磁场的位置不同，从而能区分质量相同而电量不同的粒子．