Question

12．如图，有一倾角为30°的斜劈，高为H．在斜劈底端正上方2H高处以大小不同的水平速度发射小球，对所有落到斜面上的小球，以最短时间到达斜面和以最短位移到达斜面的小球，它们在空中运动的时间之比为（　　）

• A． 1：1
• B． 1：$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$：2

Answer 1

分析 小球以大小不同的水平速度发射，在空中只受重力作用，竖直位移最短，时间最短．如果落在斜面顶端，竖直位移最短；当小球垂直碰到斜面上，位移最短．分别由几何关系求出竖直方向的最短位移，再由几何关系求出各自时间．

解答 解：小球以大小不同的水平速度发射，在空中只受重力作用，竖直位移最短，时间最短．
如果落在斜面顶端，竖直位移最短，由几何关系可得：h_min=h
所以由位移关系可得：h=$\frac{1}{2}$gt_min²，解得：t_min=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
当小球垂直碰到斜面上，位移最短，
由几何关系可得位移最短时的竖直高度为：h′=2h-2sin30°=$\frac{3}{2}$h
由位移关系可得：$\frac{3}{2}$h=$\frac{1}{2}$gt²，解得：t=$\sqrt{\frac{3h}{g}}$
则它们在空中运动的时间之比为：$\frac{{t}_{min}}{t}$=$\frac{\sqrt{\frac{2h}{g}}}{\sqrt{\frac{3h}{g}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，故C正确，ABD错误．
故选：C．

点评 解答此题的关键是知道小球以大小不同的水平速度发射，以最短时间到达斜面和以最短位移到达斜面的条件，同时知道小球在空中只受重力作用和小球运动性质也是解答本题关键所在．