Question

在桌面上有一个倒立的透明的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的桌面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率为n=1.73．r为已知，求：
（1）通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？
（2）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是t多少？光照亮地面的光斑面积s多大？

Answer 1

分析：（1）当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为1.73，可得入射角与临界角的大小，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．
（2）可根据几何关系可确定光线在圆锥内和外通过的路程，由v=

c

n

求出光线在玻璃中的速度，即可求解时间．可先根据几何关系可确定光斑的半径，再求解光斑面积．

解答：解：（1）设玻璃圆锥的临界角为C，则，由sinC=

1

n

得：C=arcsin

1

n

=arcsin

1

1.73

≈arcsin

3

3

而arcsin

3

2

=60°
所以C＜60°
根据几何知识可知，光线在B点的入射角为60°，大于临界角，所以光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）由几何关系知：BE=EF=BOtan60°，BO=r
则BE=EF=

3

r
所以光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间是 t=

BE

v

+

EF

c

=

BE

c n

+

EF

c

=

3 r×1.73

c

+

3 r

c

=

2.73 3 r

c

．
光斑半径 R=OF=GF-BOcos60°=2BEcos30°-r=

3

r?

3

-r=2r
故光照亮地面的光斑面积s=πR²=4πr²．
答：
（1）通过计算说明光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间t为

2.73 3 r

c

，光照亮地面的光斑面积s是4πr²．

点评：本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．