Question

11．如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场，在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B．一绝缘弯杆由两段直杆和一段半径为R的半圆环组成，固定在纸面所在的竖直平面内．PQ、MN水平且足够长，半圆环PAM在磁场边界左侧，P、M点在磁场边界线上，NMAP段是光滑的，现有一质量为m 、带电+q的小环套在MN杆上，它所受电场力为重力的$\frac{3}{4}$倍．现在M右侧D点由静止释放小环，小环刚好能到达P点．
（1）求DM间距离x₀ ；
（2）求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小；
（3）若小环与PQ间动摩擦因数为m （设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），现将小环移至M 点右侧4R处由静止开始释放，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）对D到P为研究过程，运用动能定理求出DM间的距离．
（2）对D到A为研究过程，运用动能定理求出A点的速度，根据牛顿第二定律，沿半径方向上合力提供向心力，求出弯杆对小环作用力的大小．
（3）需讨论摩擦力的大小与电场力的大小关系，若摩擦力大于电场力，则运动到P点右侧停止；若摩擦力小于电场力，则环最终在DP间往复运动．根据动能定理求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小环刚好到达P点时速度：v_P =0，
由动能定理得：qEx₀-2mgR=0      ①
由题意可知：qE=$\frac{3}{4}$mg          ②
由①②解得：x₀=$\frac{8R}{3}$；
（2）设小环在A点时的速度为v_A ，由动能定理得：
qE（x₀+R）-mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-0   ③
解得：v_A=$\frac{\sqrt{14Rg}}{2}$  ④
设小环在A点时所受弯杆的作用力大小为N ，
由牛顿第二定律得：N-qv_AB-qE=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$  ⑤
由②、④、⑤得N=$\frac{17mg}{4}+\frac{qB\sqrt{14Rg}}{2}$；    
（3）若f=μmg ≥qE ，即：μ≥$\frac{3}{4}$，
小环第一次到达P点右侧s_l 距离处静止，
由动能定理得：qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0 　 ⑥
滑动摩擦力：f=μmg                    　 ⑦
由⑥、⑦得s₁=$\frac{4R}{4μ+3}$            　 ⑧
克服摩擦力所做的功W=fs₁=$\frac{4μmgR}{4μ+3}$    ⑨
若f=mg ＜qE ，即μ＜$\frac{3}{4}$，环经过来回往复运动一段时间之后，最后只能在光滑的PD之间往复运动，设克服摩擦力功为W，则：
qE（4R）-2mgR-W=0    ⑩
解得：W=mgR；
答：（1）DM间距离x₀ 为$\frac{8R}{3}$；
（2）上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时弯杆对小环作用力的大小为$\frac{17mg}{4}+\frac{qB\sqrt{14Rg}}{2}$；
（3）小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为$\frac{4μmgR}{4μ+3}$或mgR．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，根据动能定理列出表达式求解．