Question

10．如图甲所示，MNCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面向下的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边MN（在水平面内）平行．一正方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示．已知金属框电阻为R，质量为m，重力加速度为g，图乙中金属框运动的各个时刻及对应的速度均为已知量，求：

（1）磁场区域的宽度d；
（2）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q_热．

Answer 1

分析 （1）磁场区域的宽度d等于金属框ab边在t₁至3t₁时间内运动位移的大小，根据v-t图象的面积求解．
（2）由速度图象读出加速度，由牛顿第二定律求出斜面倾角的正弦值．线框从t₁时刻进入磁场到t₂时刻离开磁场，金属框穿过磁场过程中机械能减小转化为内能，根据能量守恒定律求出焦耳热．

解答 解：（1）根据金属框运动的v-t图象可知，金属框ab边在t₁时刻开始进入磁场区域，在t₁至2t₁时间内金属框做速度大小为v₁的匀速直线运动，金属框cd边在2t₁时刻开始进入磁场区域，在2t₁至3t₁时间内金属框做匀加速直线运动，在3t₁时刻，金属框ab边离开磁场区域．
则磁场区域的宽度d等于金属框ab边在t₁至3t₁时间内运动位移的大小，根据v-t图象得：
$d={v_1}{t_1}+\frac{{（{{v_1}+2{v_1}}）（{3{t_1}-2{t_1}}）}}{2}$…①
解得：$d=\frac{{5{v_1}{t_1}}}{2}$…②
（2）设光滑绝缘斜面的倾角为θ，正方形金属框的边长为l，在金属框ab边从t₁时刻进入磁场到金属框cd边从t₂时刻离开磁场的过程中，由功能关系得：$mg（d+l）sinθ=\frac{1}{2}m{v_2}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2+Q$_热…③
根据金属框运动的v-t图象可知，金属框ab边在t₁时刻开始进入磁场区域，在t₁至2t₁时间内金属框做速度大小为v₁的匀速直线运动，则有：
l=v₁t₁…④
根据v-t图象可知，在0至t₁时间内金属框做初速度为零的匀加速直线运动，又根据牛顿第二定律得：
$mgsinθ=ma=m\frac{v_1}{t_1}$…⑤
由①～⑤解得：Q_热=$4m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$…⑥
答：（1）磁场区域的宽度d是$\frac{5{v}_{1}{t}_{1}}{2}$；
（2）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q_热是$4m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$．

点评 本题除了考查电磁感应知识外，着重考查对速度图象的识别、理解能力，要充分挖掘图象的信息，如“面积”“斜率”等表示的意义．