Question

如图所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段是半径为R的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m，重力加速度为g，且乙球所受电场力与乙球重力mg相等．水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移．

（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点P与B点的距离S；

（2）在满足（1）的条件下．求甲的碰前速度v₀；

（3）若甲仍以速度v₀向右运动，不断增大甲的质量后再以v₀向右碰撞乙球，每次保持乙的质量不变，求乙在轨道上每次的首次落点P到B点的距离S′的范围．

Answer 1

考点：  动量守恒定律；机械能守恒定律．

专题：  动量与动能定理或能的转化与守恒定律综合．

分析：  （1）对乙受力分析，乙离开最高点之后，做类平抛运动，竖直方向上匀加速运动，水平方向上匀速运动；

（2）由于两个球发生的是弹性碰撞，所以动量守恒，机械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；

（3）B求经过D点后的最小的速度应该是v_D，再由动量守恒分析可得最大的速度，根据平抛运动水平方向的运动规律，可以求得范围的大小．

解答：  解：（1）在乙恰能通过D点的情况下，设乙到达最高点的速度为v_D，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，

则，得

mg+qE=ma_y

s=v_Dt

联立得：s=2R

（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙，

根据动量守恒有：

mv₀=mv_甲+mv_乙

根据机械能守恒定律有：

联立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀

由动能定理得：﹣mg•2R﹣qE•2R=mv_D²﹣mv_乙²

联立①⑦⑧得：=2m/s；

（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，

根据动量守恒有：

Mv₀=Mv_M+mv_m⑩

根据机械能守恒定律有

有以上两式可得：v_m=

由于M≫m，可得：v_D≤v_m＜2v_D

设乙球过D点的速度为v_D′，

由动能定理得

联立以上两个方程可得：2m/s≤v_D′＜8m/s

设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x′，

则有：x'=v_D′t

所以可以解得：2R≤x′＜8R

答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离是2R；

（2）甲的速度是；

（3）乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是2R≤x′＜8R．

点评：  在本题中物体不仅受重力的作用，还有电场力，在解题的过程中，一定要分析清楚物体的受力和运动过程，两球在碰撞过程中动量守恒，碰后机械能守恒，题目中物体的运动过程比较复杂，在解题是一定分析清楚运动过程．