Question

3．如图甲所示，表面绝缘、倾角θ=30°的斜面固定在水平地面上，斜面所在空间有一宽度D=0.40m的匀强磁场区域，其边界与斜面底边平行，磁场方向垂直斜面向上．一个质量m=0.10kg、总电阻R=0.25Ω的单匝矩形金属框abcd，放在斜面的底端，其中ab边与斜面底边重合，ab边长L=0.50m．从t=0时刻开始，线框在垂直cd边沿斜面向上大小恒定的拉力作用下，从静止开始运动，当线框的ab边离开磁场区域时撤去拉力，线框继续向上运动，线框向上运动过程中速度与时间的关系如图乙所示．已知线框在整个运动过程中始终未脱离斜面，且保持ab边与斜面底边平行，线框与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）线框受到的拉力F的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）线框在斜面上运动的过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）根据v-t图象的斜率求出加速度，由牛顿第二定律求解拉力F的大小；
（2）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后以速度2m/s做匀速直线运动，推导出安培力表达式，由平衡条件求解磁感应强度B的大小；
（3）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后做匀速直线运动，并以速度v₁匀速穿出磁场，说明线框的宽度等于磁场的宽度 D=0.40m．线框ab边离开磁场后做匀减速直线运动，速度为零时，由于重力沿斜面方向的分力与滑动摩擦力大小相等，线框不会下滑，根据能量守恒定律求出线框产生的焦耳热．

解答 解：（1）由v-t图象可知，在0～0.4s时间内线框做匀加速直线运动，进入磁场时的速度为 v₁=2.0m/s，所以：
  $a=\frac{{{v_1}-0}}{△t}$…①
根据牛顿第二定律得 F-mgsinθ-μmgcosθ=ma…②
联解①②代入数据得：F=1.5 N…③
（2）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后以速度v₁做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律和欧姆定律有：E=BLv₁…④
  $I=\frac{E}{R}$…⑤
对于线框匀速运动的过程，由力的平衡条件有：F-mgsinθ-μmgcosθ-BIL=0…⑥
联解④⑤⑥代入数据得：B=0.50T…⑦
（3）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后做匀速直线运动，并以速度v₁匀速穿出磁场，说明线框的宽度等于磁场的宽度 D=0.40m
线框的速度减为零时，因为 mgsinθ=μmgcosθ，所以线框不会下滑．设线框穿过磁场的时间为t，则
  t=$\frac{2D}{{v}_{1}}$…⑨
线框在斜面上运动的过程中产生的焦耳热 Q=I²Rt…（10）
联立⑤⑨（10）解得 Q=0.4J 
答：（1）线框受到的拉力F的大小是1.5N；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小是0.50T；
（3）线框在斜面上运动的整个过程中产生的焦耳热Q是0.4J．

点评 本题关键要根据速度图象，正确分析线框的运动过程，整合了平衡条件、牛顿第二定律、动能定理等力学规律与电磁感应规律．