Question

15．如图所示，小物块A、B放置光滑水平面上，A的质量为2m，B的质量为m，A与B之间具有下列相互作用特性：当它们间的距离x_AB≤x₀时，始终存在一个恒定的引力F₀；当x_AB＞x₀时，相互作用力为零．
（1）若A、B由相距x₀处静止释放，则经过多少时间他们相遇？
（2）若对A施加一水平向右的拉力F₁，A、B以相同的加速度向右运动，试求拉力F₁的大小；
（3）若t₀=0时刻，A、B相距$\frac{{x}_{0}}{2}$，对A施加一水平向右的拉力F（F＞3F₀），使A、B由静止开始运动，求t时刻B的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出AB的加速度，再由位移关系求相遇时间；
（2）对AB由牛顿第二定律求出加速度，根据题意加速度相同，即可得出${F}_{1}^{\;}$的大小；
（3）求出AB的加速度，AB加速度不同，A的加速度大于B的加速度，求出AB间距离增大到${x}_{0}^{\;}$的时间，分段求出B的速度；

解答 解：（1）根据题意，当它们间的距离x_AB≤x₀时，始终存在一个恒定的引力${F}_{0}^{\;}$
对物体A：${a}_{A}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{2m}$         对物体B：${a}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}$
${x}_{A}^{\;}+{x}_{B}^{\;}={x}_{0}^{\;}$
$\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}{t}_{\;}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{B}^{\;}{t}_{\;}^{2}={x}_{0}^{\;}$
代入解得：$t=2\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{\;}}{3{F}_{0}^{\;}}}$
（2）对物体A，有${F}_{1}^{\;}-{F}_{0}^{\;}=2m{a}_{A}^{\;}$①
对物体B，有${F}_{0}^{\;}=m{a}_{B}^{\;}$②
根据题意，加速度相等${a}_{A}^{\;}={a}_{B}^{\;}$③
联立解得：${F}_{1}^{\;}=3{F}_{0}^{\;}$
（3）根据题意，对A施加一水平向右的拉力F，且$F＞3{F}_{0}^{\;}$
由（2）知，则A的加速度大于B的加速度
设经过时间${t}_{0}^{\;}$，AB之间的距离增大到${x}_{0}^{\;}$
对A，根据牛顿第二定律$F-{F}_{0}^{\;}=2m{a}_{A}^{\;}$
对B，根据牛顿第二定律${F}_{0}^{\;}=m{a}_{B}^{\;}$
${x}_{A}^{\;}-{x}_{B}^{\;}=\frac{{x}_{0}^{\;}}{2}$
$\frac{1}{2}\frac{F-{F}_{0}^{\;}}{2m}{t}_{0}^{2}-\frac{1}{2}\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}{t}_{0}^{2}=\frac{{x}_{0}^{\;}}{2}$
解得：${t}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$
当$0＜t≤\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$时，${v}_{B}^{\;}={a}_{B}^{\;}t=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}t$
当$t＞\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$时，${v}_{B}^{\;}={a}_{B}^{\;}{t}_{0}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$
答：（1）若A、B由相距x₀处静止释放，则经过时间$2\sqrt{\frac{m{x}_{0}^{\;}}{3{F}_{0}^{\;}}}$他们相遇
（2）若对A施加一水平向右的拉力F₁，A、B以相同的加速度向右运动，拉力F₁的大小为$3{F}_{0}^{\;}$；
（3）若t₀=0时刻，A、B相距$\frac{{x}_{0}}{2}$，对A施加一水平向右的拉力F（F＞3F₀），使A、B由静止开始运动，t时刻B的速度
当$0＜t≤\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$时，${v}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}t$
当$t＞\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$时，${v}_{B}^{\;}=\frac{{F}_{0}^{\;}}{m}\sqrt{\frac{2m{x}_{0}^{\;}}{F-3{F}_{0}^{\;}}}$

点评 本题考查牛顿运动定律和运动学公式的应用，关键是注意分析受力情况，结合位移关系列式，注意距离大于${x}_{0}^{\;}$两球之间无作用力．