Question

9．如图所示，在水平光滑轨道PQ上有一个轻弹簧，其左端固定，现用一质量m=2.0kg的小物块（视为质点）将弹簧压缩后释放，物块离开弹簧后经过水平轨道右端恰好沿半圆轨道的切线进入竖直固定的轨道，小物块进入半圆轨道后恰好能沿轨道运动，经过最低点后滑上质量M=8.0kg的长木板，最后恰好停在长木板最左端，已知竖直半圆轨道光滑且半径R=0.5m，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.2，木板与水平地面间摩擦不计，取g=10m/s²．求：

（1）弹簧具有的弹性势能；
（2）小物块滑到半圆轨道底端时对轨道的压力大小；
（3）为使小物块不从木板上掉下来，木板最小长度．

Answer 1

分析 （1）小物块进入半圆轨道后恰好能沿轨道运动时，在圆轨道最高点恰好由重力充当向心力，由此求出对应的临界速度，根据能量守恒定律求解弹簧具有的弹性势能．
（2）根据物块由顶端滑到底端过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒和牛顿定律求解小物块滑到半圆轨道底端时对轨道的压力．
（3）对物体与木板组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律求解木板最小长度．

解答 解：（1）物体进入轨道后恰好沿轨道运动，在圆轨道最高点有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…①
根据能量守恒定律得：
弹簧具有的弹性势能：E_p=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}mgR$=$\frac{1}{2}×2×10×0.5$J=5J…②
（2）物块由顶端滑到底端过程，由机械能守恒定律得：
   mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$…③
物块在轨道底端，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$…④
解得：F=6mg=120N…⑤
由牛顿第三定律得物块对轨道的压力为120N…⑥
（3）物块在木板上滑行时，对物体块与木板组成的系统，取水平向左为正方，由动量守恒定律得：mv₂=（m+M）v″…⑦
设木块的长度为s，由能量守恒定律得：μmgs=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$$\frac{1}{2}$（m+M）v″²…⑧
联立，并代入已知，解得：s=5m…⑨
答：（1）弹簧具有的弹性势能是5J
（2）物块滑到半圆轨道底端时对轨道的压力是120N
（3）木板的长度是5m．

点评 此题要求能熟练运用机械能守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式处理复杂的力学问题，把握每个过程之间的联系是关键，要知道物块恰好通过圆轨道时，在圆轨道最高点由重力提供向心力．