Question

15．如图所示，两平行金属板A、B长为L=8cm，两板间距为d=8cm，A板比B板电势高300v，一带正电的粒子电荷量为q=1.0×10^-10C，质量为m=1.0×10^-20kg，沿电场中线RO垂直电场线飞入电场，初速度v₀=2.0×10⁶m/s，粒子飞出电场后经过截面MN，PS间的无电场区域，然后进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域（设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响）已知两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9cm，粒子穿过界面PS做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．（静电常数k=9.0×10⁹N•m²/C²，粒子重力不计）

（1）求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离为多远；到达PS界面时离D点为多远；
（2）在图上粗略画出粒子的运动轨迹；
（3）确定点电荷Q的电性并求电荷量的大小．

Answer 1

分析 （1）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移h，由几何知识求解粒子到达PS界面时离D点的距离．
（2）画出轨迹，由几何知识解答．
（3）由运动学公式求出粒子飞出电场时速度的大小和方向．粒子穿过界面PS后将绕电荷Q做匀速圆周运动，由库仑力提供向心力，由几何关系求出轨迹半径，再牛顿定律求解Q的电荷量．

解答 解：（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离（侧向位移）：y=$\frac{1}{2}$at²；
又 a=$\frac{qU}{md}$，L=v₀t
则得：y=$\frac{qU{L}^{2}}{2m{dv}_{0}^{2}}$
代入数据得：y=0.03m=3cm
带电粒子在离开电场后做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到D的距离为Y．         
由相似三角形得 $\frac{y}{Y}$=$\frac{\frac{L}{2}}{\frac{L}{2}+l}=\frac{1}{4}$
解得：Y=4y=12cm  
（2）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，在MN、PS间的无电场区域做匀速直线运动，界面PS右边做圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上，轨迹如图所示．

（3）带电粒子到达a处时，带电粒子的水平速度：v_x=υ₀=2×10⁶m/s 
竖直速度：υ_y=at=1.5×10⁶m/s，
合速度为 v_合=$\sqrt{{v}_{x}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=2.5×10⁶m/s          
该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q作匀速圆周运动．所以Q带负电．
由几何知识得，粒子圆周运动的半径 r=$\sqrt{{Y}^{2}{+L}_{DO}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$cm=15cm
根据k$\frac{QQ}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}_{合}^{2}}{r}$，代入数据解得：Q=1.04×10^-8C
答：（1）粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离为3cm，到达PS界面时离D点12cm；
（2）粒子的运动轨迹如图所示；
（3）点电荷Q带负电，其电荷量的大小为1.04×10^-8C．

点评 本题是类平抛运动与匀速圆周运动的综合，分析粒子的受力情况和运动情况是基础．难点是运用几何知识研究圆周运动的半径．