Question

（18分）如图所示，水平放置的足够长的平行金属导轨MN、PQ的一端接有电阻R₀，不计电阻的导体棒ab静置在导轨的左端MP处，并与MN垂直．以导轨PQ的左端为坐标原点O，建立直角坐标系xOy，Ox轴沿PQ方向．每根导轨单位长度的电阻为r．垂直于导轨平面的非匀强磁场磁感应强度在y轴方向不变，在x轴方向上的变化规律为：B＝B₀＋kx，并且x≥0．现在导体棒中点施加一垂直于棒的水平拉力F，使导体棒由静止开始向右做匀加速直线运动，加速度大小为a．设导体棒的质量为m，两导轨间距为L．不计导体棒与导轨间的摩擦，导体棒与导轨接触良好，不计其余部分的电阻．

（1）请通过分析推导出水平拉力F的大小随横坐标x变化的关系式；
（2）如果已知导体棒从x＝0运动到x＝x₀的过程中，力F做的功为W，求此过程回路中产生的焦耳热Q；
（3）若B₀＝0．1T，k＝0．2T／m，R₀＝0．1Ω，r＝0．1Ω／m，L＝0．5m，
a＝4m／s²，求导体棒从x＝0运动到x＝1m的过程中，通过电阻R₀的电荷量q．

Answer 1

(1)  (2) W-max₀ ; (3) 0.5C

试题分析：（1）设导体棒运动到坐标为x处的速度为v，根据法拉第电磁感应定律可得：E=BLv①
由欧姆定律：②
由于棒做匀加速运动，所以有③
此时棒受到的安培力：④
由牛顿第二定律：⑤
联立①②③④⑤可得： 
（2）设导体棒在x=x₀处的动能为E_K，则由动能定理可得：E_K=max₀ ⑥
由能量守恒定律可知：W=Q+E_K  ⑦
将⑥式代入⑦式可解得：Q=W-max₀
（3）由①②两式可得：⑧
因为a=vt，将题中所给的数据代入⑧式可得：I="2t(A)" ⑨
可知回路中的电流与时间成正比，所以在0-t时间内，通过R₀的电荷量为：
由匀加速直线运动的规律可得：，当x=x₀时，有