Question

9．如图所示，有一质量为m的小球，以速度v₀滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道．已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，求：
①小球在圆弧轨道上能上升的最大高度（用v₀、g表示）
②小球离开圆弧轨道时的速度大小．

Answer 1

分析 ①小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，根据动量守恒列式，再根据机械能守恒列式，联立方程即可求解；
②小球从轨道左端离开滑块时，根据动量守恒和机械能守恒定律列式，联立方程即可求解．

解答 解：①小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，根据动量守恒，则有：mv₀=3mv，得：v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}×3m{v}^{2}+mgh$
解得：$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3g}$
②小球从轨道左端离开滑块时，根据动量守恒，则有：mv₀=mv₁+2mv₂，
根据机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}×$2mv₂²，
联立③④可得：v₁=$-\frac{1}{3}{v}_{0}$，则小球离开圆弧轨道时的速度大小为$\frac{{v}_{0}}{3}$．
答：①小球在圆弧轨道上能上升的最大高度为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{3g}$；
②小球离开圆弧轨道时的速度大小为$\frac{{v}_{0}}{3}$．

点评 本题关键要判断出系统水平方向动量守恒和小球离开轨道后小球和轨道的运动情况，再运用机械能守恒定律列式求解，难度适中．