Question

2．已知地球与月球质量比为81：1，半径之比为 4：1，在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s的速度．求：
（1）地球与月球的表面重力加速度之比；
（2）在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多大的速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，运用比例法求解即可．
（2）在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物的速度就是月球的第一宇宙速度．地球的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．
根据万有引力提供向心力，分别对近地卫星和近月卫星列式，根据月球质量和地球质量的关系，月球半径和地球半径的关系，根据第一宇宙速度的表达式求出月球的第一宇宙速度和地球第一宇宙速度的关系，从而求出月球的第一宇宙速度大小．

解答 解：（1）根据万有引力定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，
整理后得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
则地球与月球的表面重力加速度之比为：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{81}{16}$
（2）发射环绕地球表面运行的飞行物时，有：$\frac{G{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=m\frac{{{v}_{地}}^{2}}{{R}_{地}}$
发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有：$\frac{G{M}_{月}m}{{{R}_{月}}^{2}}=m\frac{{{v}_{月}}^{2}}{{R}_{月}}$
由此即可得：v_月=$\sqrt{\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}}{v}_{地}=\sqrt{\frac{1}{81}×\frac{4}{1}}×$7.9km/s=$\frac{79}{45}$km/s≈1.76km/s
答：（1）地球与月球的表面重力加速度之比$\frac{81}{16}$；
（2）在月球上发射一颗环绕月球表面运行的飞行物需要约为1.76km/s的速度．

点评 本题关键要知道什么是第一宇宙速度，掌握向心力问题的基本思路：万有引力提供向心力．