Question

14．如图所示，x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B．在x轴（-R，R）下方的区域内存在方向与y轴相同的匀强电场．y轴下方的A点与O点的距离为d，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场，不计粒子的重力作用．
（1）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E，求E；
（2）若电场强度变化为第（1）问E的$\frac{2}{3}$，求粒子经过磁场偏转后到达x轴时的坐标；并求粒子从A点出发到该位置的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中加速，在磁场中做匀速圆周运动，应用动能定理与牛顿第二定律可以求出电场强度E．
（2）分析清楚粒子运动过程，求出粒子在各阶段的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：qEd=$\frac{1}{2}$mv²，
粒子进入磁场后做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{v2}{r}$，
粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图①所示，
由几何知识得：R=$\sqrt{2}$r，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）将E′=$\frac{2}{3}$E代入E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$可得粒子在磁场中运动的轨道半径：r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
粒子运动情况如图②，图中的角度α、β满足：cosα=$\frac{R/2}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子经过x轴时的位置坐标为：x=r+$\frac{r}{cosβ}$，
解得：x=$\sqrt{3}$R．
粒子在磁场中的速度：v=$\frac{qBR}{\sqrt{3}m}$，
电场中运动时间为：t₁=$\frac{2\sqrt{3}md}{qBR}$，
磁场中运动时间为：t₂=$\frac{2πm}{3qB}$，
出磁场后到X轴时间为：t₃=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
从A点出发运动的总时间是：t=t₁+t₂+t₃=（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$；
答：（1）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E，E为$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）若电场强度变化为第（1）问E的$\frac{2}{3}$，求粒子经过磁场偏转后到达x轴时的坐标为：（$\sqrt{3}$R，0），粒子从A点出发到该位置的时间为（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，应用运动学公式、牛顿第二定律可以解题．