Question

10．如图甲所示，“π”形线框竖直放置，电阻不计，导轨足够长，匀强磁场方向与线框平面垂直，一根质量为m、阻值为R的光滑导体棒AB，紧贴线框下滑，能达到的最大速度为v．现将该线框和磁场同时旋转一个角度放置在倾角为θ的斜面上（磁场方向垂直于斜面），如图乙所示．
（1）在斜面上导体棒由静止释放，在下滑过程中，线框一直处于静止状态，求导体棒的最大速度；
（2）导体棒在斜面上由静止向下滑行，通过距离s时导体棒恰好做匀速运动，线框保持不动．求此过程中导体棒上产生的焦耳热．
（3）导体棒在下滑过程中线框保持静止，求线框与斜面之间的动摩擦因数μ所满足的条件（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．

Answer 1

分析 （1）两次利用平衡态列方程求解，注意安培力的推导式．（2）利用能量守恒，注意重力势能转化为动能和内能．（3）分别以金属棒和导轨为研究对象，利用最大静摩擦力等于滑动摩擦力，注意金属棒与导轨间的作用力．

解答 解：（1）当金属棒在竖直导轨运动时，当速度最大时，mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$     ①
当导轨放在斜面上时，金属棒受重力、弹力和安培力，设导体棒的最大速度为v₁，
则mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$    ②
联立①②解得：v₁=vsinθ   ③
（2）当金属棒向下运动到匀速运动过程中，金属棒的重力势能转化为动能和内能，
即mgssinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+Q   ④
联立③④解得：Q=mgssinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}si{n}^{2}θ$
（3）设导轨的质量为M，以金属棒为研究对象，金属棒与导轨间的作用力为：F=mgcosθ
再以斜面上的导轨为研究对象，受重力、斜面的支持力、斜面的摩擦力和金属棒对其的弹力，
由于导轨静止，所以：F₁=（m+M）gcosθ
且Mgsinθ≤μ（m+M）gcosθ
所以μ≥$\frac{M}{m+M}tanθ$
答：（1）在斜面上导体棒由静止释放，在下滑过程中，线框一直处于静止状态，导体棒的最大速度为vsinθ；
（2）导体棒在斜面上由静止向下滑行，通过距离s时导体棒恰好做匀速运动，线框保持不动．求此过程中导体棒上产生的焦耳热mgssinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}si{n}^{2}θ$．
（3）导体棒在下滑过程中线框保持静止，求线框与斜面之间的动摩擦因数μ所满足的条件为不小于$\frac{M}{m+M}tanθ$．

点评 灵活利用安培力的推导式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$；注意叠加体间力的相互关系，不要出现漏力，否则出现错解；利用好最大静摩擦力等于滑动摩擦力．