Question

如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的两光滑圆轨道固定在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接．已舸a，b的质量分别为m_a和m_b且m_a=2m_b，同时释放两小球，a、b两球都能通过各自轨道的最高点，则弹簧在释放前至少应具有多大的弹性势能？

Answer 1

分析：由动量守恒定律得出两球分离后的速度关系．碰后，两球从最低点到最高点的过程，根据机械能守恒定律列出等式，再根据牛顿第二定律得出最高点的速度，再对弹簧释放过程，运用机械能守恒定律求解．

解答：解：两小球分离过程中动量守恒：m_av_a+m_bv_b=0…①
  v_b=-2v_a
两小球从分离到最高点的过程中：-mag?2R=

1

2

mv

′

2 a

-

1

2

m

v

2 a

…②
 -mbg?2r=

1

2

mv

′

2 b

-

1

2

m

v

2 b

两小球通过最高点时：Fa+mag=ma

v ′ 2 a

R

…③
 Fb+mbg=mb

v ′ 2 b

r

小球能通过最高点：v′a≥

gR

…④
 v′b≥

gr

因为R＞r．v_b＞v_a，所以只要a球能通过最高点，b球一定能通过最高点．
弹簧的最小弹性势能：EP=

1

2

ma

v

2 am

+

1

2

mb

v

2 bm

 EP=

15

2

magR=15mbgR…⑥
答：弹簧在释放前至少应具有15m_bgR的弹性势能．

点评：解决该题关键能判断出小球能通过最高点的条件，然后根据动量守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解．