Question

2．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，我们画出部分行星运行示意图如图所示，当某两颗行星距离最近时，我们称为“会面”，设每过N₁年，金星与地球“会面”一次，每过N₂年，木星与地球“会面”一次，已知地球的公转周期T_地=1年，则每隔多少年，金星与木星会面一次？

Answer 1

分析 根据题意，每过N₁年，金星与地球“会面”一次，即金星比地球多转一圈，列出方程表示出金星的周期；每过N₂年，木星与地球“会面”一次，地球比木星多转一圈，列出方程表示出木星的周期；金星与木星会面一次，即金星比木星多转一圈，列出方程即可求解

解答 解：因为每过${N}_{1}^{\;}$年，金星与地球“会面”一次，则
$\frac{{N}_{1}^{\;}}{{T}_{金}^{\;}}-\frac{{N}_{1}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}=1$，${T}_{地}^{\;}=1年$
解得：${T}_{金}^{\;}=\frac{{N}_{1}^{\;}}{{N}_{1}^{\;}+1}$①
每过${N}_{2}^{\;}$年，木星与地球“会面”一次．，则
$\frac{{N}_{2}^{\;}}{{T}_{地}^{\;}}-\frac{{N}_{2}^{\;}}{{T}_{木}^{\;}}=1$，${T}_{地}^{\;}=1年$
得：${T}_{木}^{\;}=\frac{{N}_{2}^{\;}}{{N}_{2}^{\;}-1}$②
设每过${N}_{3}^{\;}$年，金星与木星会面一次
$\frac{{N}_{3}^{\;}}{{T}_{金}^{\;}}-\frac{{N}_{3}^{\;}}{{T}_{木}^{\;}}=1$③
联立①②③得，${N}_{3}^{\;}=\frac{{N}_{1}^{\;}{N}_{2}^{\;}}{{N}_{1}^{\;}+{N}_{2}^{\;}}$
答：每隔$\frac{{N}_{1}^{\;}{N}_{2}^{\;}}{{N}_{1}^{\;}+{N}_{2}^{\;}}$年，金星与木星会面一次

点评 本题考查了开普勒行星运动定律的应用问题，实际也是圆周运动中的追及问题，地球的公转周期1年，是很重要的隐含条件．