Question

7．如图甲所示，一半径为2l、电阻为r的带有极窄缝隙的金属圆环和一电阻为R的定值电阻构成一闭合回路，有一板间距离为d的平行板电容器和电阻并联，金属圆环内存在一半径为l的有界匀强磁场，该磁场区域与金属圆环共心，磁感应强度随时间的变化图象如图乙所示，设磁感应强度方向垂直纸面向里为正．t=0时刻在接接近A板的位置处无初速释放一不计重力的带负电粒子，粒子质量为m，电荷量为-q，求：

（1）0-$\frac{T}{3}$时间内A、B两板间的电压；
（2）粒子在0～T时间内发生的位移（假设电荷没有到达B板）．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，即可求解；
（2）根据法拉第电磁感应定律，结合楞次定律与牛顿第二定律，及运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）在0～$\frac{T}{3}$时间内，有：E₁=$\frac{△{Φ}_{1}}{△{t}_{1}}$=$\frac{△{B}_{1}}{△{t}_{1}}$•S=$\frac{△{B}_{1}}{△{t}_{1}}$πl²
 又$\frac{△{B}_{1}}{△{t}_{1}}$=$\frac{2{B}_{0}}{\frac{T}{3}}$=$\frac{6{B}_{0}}{T}$
联立得，E₁=$\frac{6π{l}^{2}{B}_{0}}{T}$
因为I₁=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$，又因为U₁=I₁R
可得：U₁=$\frac{6π{l}^{2}{B}_{0}R}{T（R+r）}$
（2）在$\frac{T}{3}$～T时间内，有E₂=$\frac{△{Φ}_{2}}{△{t}_{2}}$=$\frac{△{Φ}_{2}}{△{t}_{2}}$πl²
又知$\frac{△{Φ}_{2}}{△{t}_{2}}$=$\frac{2{B}_{0}}{\frac{2T}{3}}$=$\frac{3{B}_{0}}{T}$
联立得E₂=$\frac{3π{I}^{2}{B}_{0}}{T}$=$\frac{{E}_{1}}{2}$
由楞次定律知两个过程中产生的电动势方向相反，所以
I₂=$\frac{1}{2}$I₁；
U₂=$\frac{1}{2}$U₁=$\frac{3π{l}^{2}{B}_{0}R}{T（R+r）}$
因为F_电=ma=$\frac{qU}{d}$
则有0～$\frac{T}{3}$ 时间内，a₁=$\frac{qU}{nd}$，
$\frac{T}{3}$～T时间内，a₂=$\frac{q{U}_{2}}{md}$得：a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$
由v=a₁$\frac{T}{3}$=a₂t₂；
即t₂=$\frac{2}{3}$T，则在t=T时刻速度为零
x₁=$\frac{1}{2}$a₁（$\frac{T}{3}$）²；
x₂=$\frac{1}{2}$a₂（$\frac{2T}{3}$）²；
x=x₁+x₂；
粒子在0～T时间内发生的位移，得x=$\frac{π{l}^{2}q{B}_{0}RT}{md（R+r）}$；
答：（1）0-$\frac{T}{3}$时间内A、B两板间的电压$\frac{6π{l}^{2}{B}_{0}R}{T（R+r）}$；
（2）粒子在0～T时间内发生的位移$\frac{π{l}^{2}q{B}_{0}RT}{md（R+r）}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律及楞次定律的应用，掌握牛顿第二定律与运动学公式的综合运用，注意分时段来确定运动与力的关系．