Question

13．如图所示，两条平行的金属导轨相距L=1m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m=0.2kg，电阻分别为R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ=0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t=0时刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由静止开始以a=1m/s²的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F₂作用下保持静止状态．t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，MN始终在水平导轨上运动．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）0～3s时间内通过MN棒的电荷量；
（3）求t=6s时F₂的大小和方向；
（4）若改变F₁的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移x满足关系：v=0.4x，PQ棒仍然静止在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x=5m的过程中，系统产生的焦耳量．

Answer 1

分析 （1）t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，由功率公式P=I²R可求出电路中电流，由闭合电路欧姆定律求出感应电动势．已知MN棒做匀加速直线运动，由速度时间公式求出t=3s时的速度，即可由公式E=BLv求出磁感应强度B；
（2）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式推导出感应电荷量的表达式q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，代入数据可求得通过MN棒的电荷量；
（3）根据速度公式v=at、感应电动势公式E=BLv、闭合电路欧姆定律、安培力公式F=BIL结合，可求出PQ棒所受的安培力大小，再由平衡条件求解F₂的大小和方向；
（4）改变F₁的作用规律时，MN棒做变加速直线运动，因为速度v与位移s成正比，所以电流I、安培力也与位移s成正比，可根据安培力的平均值求出安培力做功，系统产生的热量等于克服安培力，即可得解．

解答 解：（1）当t=3 s时，设MN的速度为v₁．
当t=3s时，PQ棒消耗的电功率为8W，则有：P=I²R_PQ；
得：I=2A
MN棒做匀加速直线运动，t₁=3s时速度为：v₁=at=3 m/s
此时MN棒将产生感应电动势为：E₁=BLv₁
由闭合电路欧姆定律得：E₁=I（R_MN+R_PQ）
代入数据得：B=2 T．
（2）t₁=3s时MN棒通过的位移为：x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m
回路磁通量的变化量为：△Φ=BLx=2×1×4.5Wb=9W
根据法拉第电磁感应定律得：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
通过MN棒的电荷量为：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$△t=$\frac{△Φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$
代入数据可得：q=3 C
（3）当t=6 s时，设MN的速度为v₂，则有：
v₂=at=6 m/s
感应电动势为：E₂=BLv₂=12 V
感应电流为：I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=4 A
PQ棒所受的安培力为：F_安=BI₂L=8 N
规定沿斜面向上为正方向，对PQ进行受力分析可得：
F₂+F_安cos 37°=mgsin 37°
代入数据：F₂=-5.2 N（负号说明力的方向沿斜面向下）
（4）MN棒做变加速直线运动，当x=5 m时，v=0.4x=0.4×5 m/s=2 m/s
因为速度v与位移x成正比，所以电流I、安培力也与位移x成正比，安培力做功为：
W_安=-$\frac{1}{2}$BL•$\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•x=-$\frac{20}{3}$ J
故系统产生的焦耳热为：
Q=-W_安=$\frac{20}{3}$ J．
答：（1）磁感应强度B的大小是2T；
（2）0～3s时间内通过MN棒的电荷量为3C；
（3）t=6s时F₂的大小为5.2N，方向沿斜面向下；
（4）MN棒从静止开始到s=5m的过程中，系统产生的热量为$\frac{20}{3}$J．

点评 本题是双杆类型，分别研究它们的情况是解答的基础，运用力学和电路、电磁感应的规律研究MN棒，其中对于感应电荷量，要熟悉一般表达式q=n$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，知道△φ与棒的位移有关．本题关键要抓住安培力与位移是线性关系，安培力的平均值等于初末时刻的平均值，从而可求出安培力做功．