Question

16．在光滑的冰面上放置一个截面圆弧为四分之一圆的半径足够大的光滑自由曲面体，一个坐在冰车上的小孩手扶一小球静止在冰面上．已知小孩和冰车的总质量为m₁小球的质量为m₂，曲面体的质量为m₃．某时刻小孩将小球以v₀=4m/s的速度向曲面体推出（如图所示）．
（1）求小球在圆弧面上能上升的最大高度；
（2）若m₁=40kg，m₂=2kg小孩将球推出后还能再接到小球，试求曲面质量m₃应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对小球与曲面进行研究，由动量守恒及机械能守恒定律可列式求解；
（2）分析小孩与球，球和曲面，由动量守恒定律及机械能守恒定律可求得最后的速度，然后求出小孩能接到球的条件．

解答 解：（1）小球与曲面组成的系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₀=（m₂+m₃）v，
系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₂v₀²=$\frac{1}{2}$（m₂+m₃）v²+m₂gh，
解得：h=$\frac{{m}_{3}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g}$；
（2）小孩推出球的过程小孩与球组成的系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₀-m₁v₁=0，
球与曲面组成的系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₀=-m₂v₂+m₃v₃，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v₀²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²，
解得：v₂=$\frac{{m}_{3}-{m}_{2}}{{m}_{3}+{m}_{2}}$v₀，；
如果小孩将球推出后还能再接到球，则需要满足：v₂＞v₁，
解得：m₃＞$\frac{42}{19}$kg；
答：（1）小球在圆弧面上能上升的最大高度为$\frac{{m}_{3}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{2}+{m}_{3}）g}$；
（2）若m₁=40kg，m₂=2kg小孩将球推出后还能再接到小球，曲面质量m₃应满足的条件是：m₃＞$\frac{42}{19}$kg．

点评 本题为多过程动量守恒问题，要注意正确选择研究对象及过程，明确动量守恒的条件，并能正确应用相应规律求解．