Question

9．在一次宇宙探测过程中，宇航员到达某一星球上．在星球表面做如图所示的实验：
将一质量为m的小球拴接在长为l的轻绳一端，绳的另一端结在有测力仪器的O点上，让小球在竖直平面内做圆周运动．测得小球经过最低点时，速度为v，绳的拉力为F．已知该星球的半径为R，引力常量G，忽略星球的自转．由该实验数据及条件，求：
（1）该星球表面的重力加速度和该星球的质量M．
（2）为拍摄星球的全貌，宇航员驾驶的飞船在离该星球表面高度为R的轨道绕该星球做匀速圆周运动，则飞船的线速度多大？

Answer 1

分析 （1）小球在最低点受重力和拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解重力加速度；根据重力等于万有引力列式求解星球的质量；
（2）飞船做匀速圆周运动，运用万有引力等于向心力列式求解飞船的线速度．

解答 解：（1）小球在最低点受重力和拉力，合力提供向心力，故：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：
g=$\frac{F}{m}$-$\frac{{v}^{2}}{l}$
在星球表面，重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{l}）{R}^{2}}{G}$
（2）宇航员驾驶的飞船在离该星球表面高度为R的轨道绕该星球做匀速圆周运动，万有引力等于向心力，故：
G$\frac{Mm}{（R+R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+R}$
解得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}R（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{R}）}$
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{F}{m}$-$\frac{{v}^{2}}{l}$，该星球的质量M为$\frac{（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{l}）{R}^{2}}{G}$．
（2）飞船的线速度为$\sqrt{\frac{1}{2}R（\frac{F}{m}-\frac{{v}^{2}}{R}）}$．

点评 本题关键是先根据圆周运动的知识求解出星球表面的重力加速度，然后利用重力等于万有引力，万有引力提供卫星的向心力的原理列式后联立求解，不难．