Question

15．如图所示，空间存在着方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场和方向水平向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场．两个带电小球1和2均在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．已知两球的质量关系为m₁=3m₂，轨迹半径关系为R₁=3R₂=18cm．不考虑两球间的静电力和空气阻力．
（1）指出小球1的带电性质和绕行方向；
（2）求两球所带电荷量q₁和q₂的定量关系；
（3）设两球在图中的P点发生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的轨迹上运动，求碰撞后小球1运动的轨迹半径．（假设碰撞时两球间的电荷不发生转移）

Answer 1

分析 （1）因为两个小球均在竖直平面内做匀速圆周运动，则所受的指向圆心方向的合力只有由洛仑兹力提供，那么竖直方向的重力与电场力平衡，小于电场力向上，所以两小球均带负电．再由左手定则反过来由洛仑兹力确定速度方向，只能是逆时针方向运动．
（2）由洛仑兹力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做匀速圆周运动的半径 $R=\frac{mv}{qB}$，所以由半径、速度关系求得电量关系．
（3）由动量守恒定律求出小球1碰撞后的速度与碰前小球1或2的速度关系，从而得到小球1的半径．

解答 解：（1）由题意，小球1在竖直平面内做匀速圆周运动，竖直方向的重力与电场力平衡，电场力向上，所以小球1带负电．再由左手定则，洛仑兹力指向圆心，所以小球1应该做逆时针方向圆周运动．
（2）竖直方向上有，对两球均有：m₁g=Eq₁，m₂g=Eq₂    
   而m₁=3m₂
  所以有：q₁=3q₂
（3）由洛仑兹力提供向心力：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，可以得到小球做匀速圆周运动的半径 $R=\frac{mv}{qB}$
   由以上质量和速度的关系可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{3}{1}$，即v₁=3v₂
   由题意碰撞后：R₂′=R₁，即$\frac{{m}_{2}{v}_{2}′}{{q}_{2}B}=\frac{{m}_{1}{v}_{1}}{{q}_{1}B}$  
   联立联立得：v₂′=v₁=3v₂
   碰撞前后动量守恒：m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁′+m₂v₂′
   将已知关系代入上式得：${v}_{1}′=\frac{8}{3}{v}_{2}$${R}_{1}′=\frac{{m}_{1}{v}_{1}′}{{q}_{1}B}=\frac{3{m}_{2}×\frac{8}{3}{v}_{2}}{3{q}_{2}B}=\frac{8}{3}{R}_{2}$=0.16m
答：（1）小球1带负电做逆时针绕行．
（2）两球所带电荷量q₁和q₂的定量关系是：q₁=3q₂．
（3）设两球在图中的P点发生碰撞，且碰撞后小球2能在小球1原先的轨迹上运动，碰撞后小球1运动的轨迹半径是0.16m．

点评 由于题目已知质量、半径关系，从而求出电量关系，至于第三问的碰撞问题由动量守恒定律求出碰后小球1与碰前小球的速度关系，再由半径公式求出小球1的半径．该题涉及洛仑兹力产生加速度、动量守恒定律等内容，用比值方法容易求得．