Question

19．质量为1.0×10³kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2000N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×10⁴W，开始时以a=1m/s²的加速度做匀加速运动（g=10m/s²）．求：
（1）汽车做匀加速运动的时间t₁；
（2）汽车所能达到的最大速率；
（3）若斜坡长143.5m，且认为汽车以a=1m/s²的加速度做匀加速运动达到额定功率后保持其功率不变，在到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多少时间？

Answer 1

分析 （1）汽车开始做匀加速运动，速度增大，发动机的输出功率增大，当输出功率达到额定功率时开始做变加速运动．先根据牛顿第二定律求出牵引力的大小，从而根据P=Fv求出匀加速直线运动的最大速度，根据速度时间公式求出匀加速运动的时间．
（2）当汽车的合力等于零时开始做匀速运动，速度最大．求出此时的牵引力F，再根据P=Fv_m求出汽车运行的最大速率．
（3）根据动能定理研究后一阶段变加速过程求出时间．

解答 解：（1）设汽车的牵引力为F，汽车在斜坡上受重力、支持力、摩擦力、牵引力，根据牛顿第二定律有：F-mgsin30°-f=ma；
设匀加速的末速度为v，根据P=Fv，知道汽车的速度增加，发动机的功率也在增大，当汽车功率增加到额定输出功率时，速度继续增加，牵引力就要减小，此时匀加速运动结束．则有：P_额=Fv；
根据匀加速运动公式有：v=at₁
代入数值，联立解得匀加速的时间为：v=7m/s，t₁=7s．
（2）当达到最大速度v_m时，有：P=（mgsin30°+F_f）v_m
解得汽车的最大速度为：v_m=8m/s
（3）汽车匀加速运动的位移为：x₁=$\frac{1}{2}$at₁²=24.5m
在后一阶段牵引力对汽车做正功，重力和阻力做负功，根据动能定理有：
Pt₂-（mgsin30°+F_f）x₂=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv²
又有 x₂=x-x₁=143.5-24.5=119m
代入数值，联立求解得：t₂≈15s
所以汽车总的运动时间为：t=t₁+t₂=22s
答：（1）汽车做匀加速运动的时间t₁为7s．
（2）汽车所能达到的最大速率为8m/s；
（3）汽车从坡底到坡顶需22s时间．

点评 本题的关键要知道汽车的运动性质，明确各个物理量的变化；对于变加速运动时间的求解，运动学公式已经不适用了，我们可以考虑动能定理．