Question

如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆、轻绳两端拴有两个质量均为m的小球a和b（可视为质点），Oa段的长度为L₁，Ob段的长度为L₂，且L₁＞L₂，球a置于地面，球b被拉到与细杆水平的位置，在绳刚拉直时放手，小球b从静止状态向下摆动，当球b摆到最低点时，恰好与球a在同一水平位置发生碰撞并粘合在一起，设碰撞时间极短，往后两球以O点为圆心做圆周运动，若已知碰前瞬间球a的速度大小为v_a，方向竖直向上，轻绳不可伸长且始终处于绷紧状态，求：
（1）球b在碰撞前瞬间的速度大小；
（2）两小球粘合后做圆周运动时绳中张力的大小；
（3）两球在碰撞过程中，合外力对球a施加的冲量．

Answer 1

分析：（1）对a、b系统从开始到a、b碰撞前运用机械能守恒定律列出等式求解
（2）当球b运动到最低点时，其竖直方向的速度与v_a大小相等，方向相反，球b与球a在水平方向碰撞，根据动量守恒列出等式，由牛顿第二定律求出绳中张力的大小
（3）（3）在碰撞过程中，根据动量定理求解

解答：解：（1）对a、b系统从开始到a、b碰撞前运用机械能守恒定律列出等式有：
mgL₁=2mg×

1

2

（L₁-L₂）+

1

2

mv_b²+

1

2

mv_a²…①
解得：v_b=

2gL2- v 2 a

…②
（2）当球b运动到最低点时，其竖直方向的速度与v_a大小相等，方向相反（因为绳长不变），球b在水平方向的速度为：v_bx=

v 2 b - v 2 a

…③
球b与球a在水平方向碰撞，有：mv_bx=2mv…④
绳中张力T由牛顿第二定律有：T-mg=

mv2

L1+L2 2

…⑤
由②③④⑤得：T=mg+

m(gL2 -v 2 a )

L1+L2

（3）在碰撞过程中，根据动量定理
对球a有：I=m

v 2   + v 2 a

=m

gL2+ v 2 a 2

冲量与水平方向的夹角为：θ=arctan

2 v 2 a gL2- v 2 a

答：（1）球b在碰撞前瞬间的速度大小是

2gL2- v 2 a

；
（2）两小球粘合后做圆周运动时绳中张力的大小是mg+

m(gL2 -v 2 a )

L1+L2

；
（3）两球在碰撞过程中，合外力对球a施加的冲量大小是m

gL2+ v 2 a 2

，方向水平方向的夹角θ=arctan

2 v 2 a gL2- v 2 a

点评：本题考查了机械能守恒，动量守恒，牛顿第二定律，动量定理等多个知识点的应用，关键要清楚物体的运动过程，选择对应的物理规律求解．