Question

9．如图所示，在坐标系第一、二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第三、四象限内有平行于纸面的匀强电场．一质量为m，电荷量为q的带负电粒子，以速度v自坐标原点O沿着与x轴正方向成30°角的方向射出，匀强电场的场强大小E=$\frac{4}{3}$Bv，方向与x轴负方向成60°，粒子的重力不计，关于粒子的运动下列说法正确的是（　　）

• A． 粒子自原点O射出后，第一次与y轴交于$（0，\frac{{\sqrt{3}mv}}{qB}）$
• B． 粒子自原点O射出后至第二次经过x轴的时间间隔为$\frac{5πm}{3qB}+\frac{{\sqrt{3}m}}{2qB}$
• C． 粒子自原点O射出后，第二次经过x轴时的位置恰好是坐标原点
• D． 粒子自原点O射出后，第二次经过x轴时速度方向与初速度方向相同

Answer 1

分析 可知粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据对称性可知粒子正好垂直电场线方向进入电场，所以粒子进入电场之后做类平抛，粒子在磁场中的运动根据半径公式r=$\frac{mv}{qB}$结合几何关系，电场中的类平抛运动运用运动的合成和分解，牛顿第二定律结合运动学规律解决，结合几何关系逐项分析即可．

解答 解：A、设粒子做圆周运动的半径为r，自原点O射出后，第一次与y轴交于A点，设其坐标为（0，y_A），
根据半径公式：r=$\frac{mv}{qB}$，
几何关系有：y_A=2rcos30°，
联立两式可得：y_A=$\frac{\sqrt{3}mv}{qB}$，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据周期公式：T=$\frac{2πm}{qB}$，粒子转过的圆心角：θ=300°，
可得粒子在磁场中运动的时间：t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{5πm}{3qB}$ ①
由磁场中粒子轨迹的对称性可知，粒子恰好垂直电场线入射电场，在电场中做类平抛运动，设该过程中粒子在电场中运动的时间为t₂，
根据牛顿第二定律可得：Eq=ma ②
粒子垂直电场线方向的位移大小为：x=vt₂ ③
粒子沿电场线方向的位移大小为：y=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$ ④
根据已知：E=$\frac{4}{3}$Bv ⑤
根据平抛运动到x轴时的位移偏向角为30°，可得：tan30°=$\frac{y}{x}$ ⑥
联立②③④⑤⑥式可得：t₂=$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$ ⑦
联立①⑦式可得第二次经过x轴的时间：t=t₁+t₂=$\frac{5πm}{3qB}$+$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$，故B正确；
C、设粒子在电场中做类平抛运动经过x轴上的点距C点距离为d，
根据结合关系可知：OC=r=$\frac{mv}{qB}$，
d=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ ⑧
联立②③④⑤⑥⑧式可得d=$\frac{mv}{qB}$=r，
所以粒子第二次经过x轴时的位置恰好是坐标原点，故C正确；
D、设粒子第二次经过x轴时速度方向与x轴正方向之间的夹角为α，则类平抛过程粒子速度方向偏转的角度为θ′=α+30°，
根据平抛运动速度偏向角公式：tanθ′=tan（α+30°）=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{a{t}_{2}}{v}$
根据⑥有：tan30°=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}}{v{t}_{2}}$=$\frac{{at}_{2}}{2v}$
所以：2tan30°=tan（α+30°）
整理得：2tan30°=$\frac{tanα+tan30°}{1-tanα•tan30°}$
解得：tanα=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，α≈19.1°≠30°，所以粒子第二次经过x轴时速度方向与初速度方向一定不相同，故D错误．
故选：ABC

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，分析粒子在磁场和电场中的运动形式，再选择合适的规律解决问题，对数学几何能力要求较高．判断D项时，也可以不算反三角函数值，求出2tan30°=tan（α+30°），而正切函数是非线性的，所以2×30°≠α+30°，故α≠30°．