Question

14．2013年年底，搭载着嫦娥三号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射．已知地球半径约是月球半径的4倍，地球质量约是月球质量的81倍，地球表面重力加速度g取10m/s²，地球半径R=6.4×10³ km．
（1）若某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在探月卫星嫦娥三号中，在卫星以加速度a=$\frac{g}{2}$ 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物间的相互挤压力为90N时，卫星距离地球表面有多远？
（2）设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经多长时间落地？

Answer 1

分析 （1）当物体与卫星中的支持物间的相互挤压力为90N时，由牛顿第二定律求出此位置的重力加速度．根据重力等于万有引力，列式求解卫星的高度．
（2）根据重力等于万有引力列式，求出月球表面重力加速度，再由自由落体运动的规律求解时间．

解答 解：（1）设卫星离地面的高度为h，物体受到的支持力为F_N．
根据牛顿第二定律，有 F_N-mg′=m•$\frac{g}{2}$，
在h高度处，有 mg′=G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$
在地球表面处，有 mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
联立以上各式得 h=1.92×10⁴ km．
（2）设月球表面重力加速度为g₁，月球半径为R₁，物体自由下落高度为H．
在地球表面处，则 G$\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}$=m₁g，
在月球表面处，G$\frac{{M}_{1}{m}_{1}}{{R}_{1}^{2}}$=m₁g₁，
又R₁=$\frac{R}{4}$，M₁=$\frac{M}{81}$．
联立以上各式，
解得 g₁=g$\frac{{M}_{1}}{M}$•（$\frac{R}{{R}_{1}}$）²=1.98 m/s²，
由H=$\frac{1}{2}$g₁t²，解得 t=4.5 s．
答：
（1）卫星距离地球表面有1.92×10⁴ km远．　
（2）物体从离月球表面20m处自由下落，约经4.5 s长时间落地．

点评 由万有引力等于重力，得到g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，此式常常称为黄金代换式，是求星球表面重力加速度常用的思路．