Question

如图所示，在半径为a（大小未知）的圆柱空间中（图中圆为其横截面），固定放置一绝缘材料制成的边长为L的弹性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上．在三角形框架DEF与圆柱之间的空间中，充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于圆柱轴线垂直纸面向里．在EF边上的中点S处有一发射带电粒子的粒子加速器，粒子发射的方向均在截面内且垂直于EF边并指向磁场区域．发射粒子的电量均为q（q＞o），质量均为m，速度大小均为v=

qBL

6m

，若粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，且粒子在碰撞过程中所带的电量不变．（不计带电粒子的重力，不计带电粒子之间的相互作用）求：
（1）为使初速度为零的粒子速度增加到v=

qBL

6m

，在粒子加速器中，需要的加速电压为多大；
（2）带电粒子在匀强磁场区域内做匀速圆周运动的半径；．
（3）若满足：从S点发射出的粒子都能再次返回S点，则匀强磁场区域的横截面圆周半径a至少为多大；
（4）若匀强磁场区域的横截面圆周半径a满足第（3）问的条件，则从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点的时间是多少？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理，通过末动能求出加速电压的大小．
（2）根据洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子在磁场中运动的轨道半径．
（3）根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径，结合等边三角形边长，画出粒子运动的轨迹图，当带电粒子的运动轨迹同场区内切时，场区半径有最小值，根据几何关系求出匀强磁场区域的横截面圆周半径的最小值．
（4）求出带电粒子在匀强磁场中运动的周期，根据几何关系知，从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点经历了

11

2

个周期，从而得出运动的时间．

解答：解：（1）在粒子加速器中，带电粒子在电场中被加速，根据动能定理可知：qU=

1

2

mv2
U=

qB2L2

72m

．
（2）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可知：qvB=m

v2

r

解得r=

mv

qB

=

L

6

．
（3）设想某个带电粒子从S发射后又能回到S，则带电粒子的运动轨迹如图．
当带电粒子的运动轨迹同场区内切时，场区半径有最小值a_min．
amin=OG=OF+FG=r+

3

3

L=(

1

6

+

3

3

)L．
（4）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由周期公式得：T=

2πr

v

=

2πm

qB

．
由轨迹图知，某带电粒子从S发射后第一次返回到S的时间为：t=

11

2

T=

11πm

qB

．
答：（1）需要的加速电压为U=

qB2L2

72m

．
（2）带电粒子在匀强磁场区域内做匀速圆周运动的半径

L

6

．
（3）匀强磁场区域的横截面圆周半径a至少为(

1

6

+

3

3

)L．
（4）从S点发射出的某带电粒子从S点发射到第一次返回S点的时间是

11πm

qB

．

点评：本题粒子在有圆形边界的磁场做匀速圆周运动的问题，画出轨迹，根据几何知识分析临界条件，求半径和圆心角是常用的思路．