Question

（2010?烟台一模）如图所示，在真空中，边长为2b的虚线所围的正方形区域ABCD内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离为b，板长为2b，O₁O₂为两板的中心线．且O₁为磁场右边界BC边的中点．有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，以速度v₀从DC边某点P点沿垂直于DC的方向进入磁场，当粒子从O₁点沿O₁O₂方向飞出磁场的同时，给M、N板间加上如图所示交变电压u（图中U₀与T未知）．最后粒子刚好以平行于N板的速度，从N板的边缘飞出．不计平行金属板两端的边缘效应及粒子所受的重力．求：
（1）磁场的磁感应强度B的大小；
（2）交变电压的周期T和电压U₀的值；
（3）若t=

T

2

时，将相同粒子从MN板右侧O₂点沿板的中心线O₂O₁方向，仍以速率v₀射入M、N之间，求粒子进入磁场后在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析：粒子进入磁场在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，完成

1

4

圆弧后，垂直进入匀强电场后做类平抛运动，最后只好从N板边缘飞出，由平抛运动规律可求出运动的时间，从而得出电场变化的周期，最终列出极板间电压的表达式．
当t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入电场时，则该粒子将恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场，根据粒子运动轨道结合几何关系可求出圆周运动的周期，从而算出运动的时间．

解答：解：粒子自P点进入磁场，从O₁点水平飞出磁场，运动半径为b，
则qv0B=m

v 2 0

b

解得：B=

mv0

bq

 
粒子自O₁点进入电场，最后恰好从N板的边缘平行飞出，
设运动时间为t，则2b=v₀t

b

2

=2n?

1

2

?

qU0

mb

(

T

2

)2   
t=nT（n=1，2，…） 
解得：T=

2b

nv0

(n=1，2，…)  
U0=

nm v 2 0

2q

  (n=1，2，…)
（3）当t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入电场时，则该粒子将恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场，且进入磁场的为v₀，运动的轨道半径仍为b，设进入磁场的点为E，离开磁场的点为Q，圆心为O，
如图所示，
OB=R-

b

2

=

b

2

     OQ=R=b
由cosθ=

OB

OQ

=

1

2

 
可得：θ=60°=

π

3

  
因为T=

2πR

v0

，
得T=

2πb

v0

 
粒子在磁场中运动的时间为t=

θ

2π

T=

T

6

=

πb

3v0

．

点评：本题突破口：粒子自O₁点进入电场，最后恰好从N板的边缘平行飞出；当t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入电场时，则该粒子将恰好从M板边缘以平行于极板的速度射入磁场．