Question

10．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射．（注：若sinθ=a，θ=arcsina）

Answer 1

分析 地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，其向心力用周期表示，结合“黄金代换”求出同步卫星的轨道半径，再利用几何关系确定太阳照不到同步卫星的范围，那么，即可求出看不到卫星的时间

解答 解：设地球同步卫星的轨道半径为r，由地球的万有引力提供向心力，即：
 G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²
 对地面上的物体有：G $\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g
由以上两式可得：r=$\root{3}{\frac{{T}^{2}{R}^{2}g}{4{π}^{2}}}$
如图所示，观察者从A点到B点的时间内，将看不到卫星，由几何关系可知：
  sinθ=$\frac{R}{r}$
观察者看不见此卫星的时间：t=$\frac{2θ}{2π}$T
由以上两式联立得：t=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$
答：春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内观察者看不见此卫星的时间为$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$．

点评 解决天体问题把握两条思路：一是万有引力提供向心力，二是重力等于万有引力．针对本题关键还要分析好几何关系来求解．