Question

18．如图所示，水平桌面的右端有一质量为m的物块B，用长为L的不可伸长的细线悬挂，B对水平桌面压力刚好为零，水平桌面离地面的高度为h=5.0m，另一质量为3m的物块A在距水平桌面的右端s=4.0m处在F=3mg（取g=10m/s²）水平推力向右运动，推到B处时立即撤销F并与B发生弹性碰撞，已知A与桌面间的动摩擦因数为μ=0.8，物块均可视为质点．
（1）求A与B碰撞前的速度；
（2）求碰撞后A的落地点与桌面右端的水平距离x；
（3）要使物块A与物块B碰后，悬挂的细线始终有拉力，试求细线的长度L的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对A，由动能定理可以求出A的速度．
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后A、B的速度，碰撞后A做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出其水平位移．
（3）碰撞后B做圆周运动，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律分析答题．

解答 解：（1）在A与B碰撞前的过程中，由动能定理得：
$（F-μ3mg）s=\frac{1}{2}×3mv_{A0}^2-0$，
代入数据解得：v_A0=4m/s，方向：向右；
（2）A与B弹性碰撞，系统动量与机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
3mv_A0=3mv_A+mv_B，
由机械能守恒定律的：$\frac{1}{2}$•3mv_A0²=$\frac{1}{2}$•3mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入数据解得：v_A=2m/s，v_B=6m/s，
A做平抛运动，水平方向：x=v_At，竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
代入数据得t=1s，x=2m；
（3）若B做一个完整的圆周运动时，通过最高点的最小速度v_min，
由牛顿第二定律得：$mg=m\frac{{v_{min}^2}}{L}$，
解得：v_min=$\sqrt{gL}$，
从最低点到最高点，由机械能守恒定律的：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_min²+mg•2L，
代入数据解得：L=0.72m，则细线最长：L_max=0.72m
若B运动到与O等高时速度为零，则有：$\frac{1}{2}mv_B^2=mg{L_{min}}$，
代入数据解得：L_min=1.8m，
L取值范围：0＜L≤0.72m或L≥1.8m；
答：（1）A与B碰撞前的速度为4m/s，方向：水平向右；
（2）碰撞后A的落地点与桌面右端的水平距离x为2m；
（3）要使物块A与物块B碰后，悬挂的细线始终有拉力，细线的长度L的取值范围是：0＜L≤0.72m或L≥1.8m．

点评 本题综合运用了动能定理、动量守恒定律和牛顿运动定律，对于第（3）问，要考虑两种临界情况，一是B上升的最大高度为L，二是恰好能做圆周运动．