Question

如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上．一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱．导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R₀．以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B．在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a．
（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；
（2）经过多少时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？
（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量．

Answer 1

分析：电磁感应定律求电动势，匀变速运动求速度，由闭合电路欧姆定律求出感应电流随时间变化的表达式，对导轨受力分析，牛顿第二定律求F得最大值，由动能定理求导轨动能的增加量．

解答：解：（1）对杆发电：E=BLv，
导轨做初速为零的匀加速运动，v=at，
E=BLat，
s=

1

2

at²
对回路：闭合电路欧姆定律：

I=

BLV

R总

=

BLat

R+2R0( 1 2 at2)

=

BLat

R+R0at2

（2）导轨受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
对杆受安培力：F_A=BIL=

B2L2at

R+R0at2

F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+

B2L2at

R+R0at2

）
由牛顿定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）

B2L2at

R+R0at2

上式中当：

R

t

=R₀at
即t=

R aR0

时，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+

1

2

（1+μ）B²L²

a RR0

，
（3）设此过程中导轨运动距离为s，
由动能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=

W-μQ

μmg

，
△E_k=Mas=

W-μQ

μmg

Ma
答：（1）回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式E=BLat，I=

BLat

R+R0at2

；
（2）经过

a RR0

时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为Ma+μmg+

1

2

（1+μ）B²L²

a RR0

，
（3）导轨动能的增加量为

W-μQ

μmg

Ma．

点评：考查了电磁感应定律产生电动势、电流随时间变化的规律，讨论其最大值，能量守恒定律的应用．