Question

13．如图所示，光滑水平面上依次放置质量m=1kg的小球A和$\frac{1}{4}$ 光滑圆曲面B，B的质量M=3kg，下端与水平面相切，现让小球A以水平速度v_a向左运动，B以水平速度v_b=3m/s向右运动，相遇后小球A滑上曲面B，当小球A在B上达到最大高度时（曲面半径足够大），B的速度v₂=2m/s，设水平向右为正方向，已知g=10m/s²，求
（1）小球A的初速度v_a；
（2）小球A所能达到的最大高度h；
（3）若B的曲面半径R=0.4m，求小球A离开B时的速度及小球离开水平面的最大高度．

Answer 1

分析 （1）从开始到滑上最高点，A、B系统在水平方向动量守恒，由动量守恒定律列式求解；
（2）A离开B后只受重力作用，A运动到最高点时只有水平方向的速度且为v₂，根据机械能守恒定律列式求解；
（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解即可；

解答 解：（1）从开始到滑上最高点，系统水平方向动量守恒，由动量守恒定律得：Mv_b+mv_a=（M+m）v₂
解得：v_a=-1m/s，负号表示方向水平向左，
（2）从开始到滑上最高点，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}M{v}_{b}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{2}^{2}+mgh$
解得：h=0.6m
（3）A、B水平方向动量守恒，有：Mv_b+mv_a=（M+m）v₂
设A离开B时的竖直分速度为v₁，系统机械能守恒，有：$\frac{1}{2}M{v}_{b}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}=\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}m（{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}）$+mgR
解得：v₁=2m/s
故小球A离开B时的速度：${v}_{A}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}=2\sqrt{2}m/s$
最大高度：$h=R+\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}=0.6m$
答：（1）小球A的初速度为1m/s；
（2）小球A所能达到的最大高度为0.6m；
（3）若B的曲面半径R=0.4m，小球A离开B时的速度为$2\sqrt{2}m/s$，小球离开水平面的最大高度为0.6m．

点评 分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以解题．要注意A、B系统水平方向动量守恒，系统整体动量不守恒．