Question

10．随着我国探月三步走计划的实现，中华儿女到月球上去旅游不再是梦想，将来有一天你可能会成功登上月球．若考虑月球自转，设其自转周期为T．用弹簧测力计在月球赤道测得某物体的重量为在其两极时的k倍（k＜1）．假设月球可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G．求月球的密度ρ

Answer 1

分析 在两极，被测物的重力等于万有引力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供向心力，通过以上两个关系球月球的质量，结合月球的体积求出月球的密度．

解答 解：设月球的质量为M_月，半径为R，被测物体的质量为m，在两极测得物体的重量为P，
在两极P=$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}$，
在赤道$G\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}-kP=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
月球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，
月球的密度$ρ=\frac{{M}_{月}}{V}$，
联立解得$ρ=\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．
答：月球的密度为$\frac{3π}{（1-k）G{T}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道在两极和赤道重力和万有引力的关系，结合密度公式进行求解，难度不大．