Question

13．地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，卫星甲、乙、丙在如图所示三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲和乙的运行轨道在P点相切，以下说法中正确的是（　　）

• A． 卫星甲的周期最大
• B． 卫星甲、乙经过P点时的加速度大小相等
• C． 三个卫星在远地点的速度可能大于第一宇宙速度
• D． 如果地球自转的角速度突然变为原来的$\frac{（g+a）}{a}$倍，那么赤道上的物体将会“飘”起来

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律知，椭圆半长轴越大，卫星的周期越大．由牛顿第二定律研究加速度，使地球上的物体票“飘”起来即物体处于完全失重状态，即此时物体所受地球的重力完全提供物体随地球自转时的向心力．

解答 解：A、根据开普勒第三定律知，椭圆半长轴越大，卫星的周期越大，卫星甲的半长轴最大，故甲的周期最大，故A正确；
B、根据牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，得卫星的加速度a=$G\frac{M}{{r}^{2}}$，M是地球的质量，r是卫星到地心的距离，卫星甲、乙分别经过P点时r相同，则加速度相等，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，轨道半径越小，速度越大，当轨道半径最小等于地球半径时，速度等于第一宇宙速度．
假设一位卫星绕经过远地点的圆轨道做圆周运动，则此卫星的速度一定小于第一宇宙速度，卫星从该轨道进入椭圆轨道，要做减速运动，速度要变小，故三个卫星的速度均小于第一宇宙速度，故C错误；
D、使地球上的物体票“飘”起来即物体处于完全失重状态，即此时物体所受地球的重力完全提供物体随地球自转时的向心力则有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mg=ma$，当物体飘起来的时候，万有引力完全提供向心力，则$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m（g+a）$，即此时的向心加速度a′=g+a
根据向心加速度和角速度的关系有：a=Rω²，a′=Rω′²可得：$ω′=\sqrt{\frac{g+a}{a}}ω$，故D错误．
故选：AB

点评 卫星绕地球运动，轨道高度越大，发射速度越大，发射越困难，卫星在近地点的速度越大．在随圆轨道上运动的卫星，万有引力和卫星运动所需要向心力不是始终相等的，故在椭圆轨道上运动的卫星不是始终处于完全失重状态．