Question

14．如图所示，足够长的收集板MN和半圆形匀强磁场相切，且与磁场的直线边界CD平行；磁场的圆心为O、半径为L，方向垂直纸面向内．现有大量质量为m、电量为q的带正电粒子，从O点沿纸面以相同速率v沿各个方向射入磁场，粒子的轨道半径也为L．不计粒子重力及粒子间的相互作用，求：
（1）所加磁场磁感应强度的大小；
（2）哪些入射方向（以速度方向与OD间夹角表示）的粒子通过磁场后能打到MN板上；
（3）粒子通过磁场的最长时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做类似平抛运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）考虑临界情况，当粒子从磁场中出来后速度的方向与MN平行时将不能达到板上，画出临界轨迹，结合几何关系进行讨论即可；
（3）粒子在磁场中对应圆弧的弦长最长时，圆弧最长，则运动时间最长，最长弦长等于半径，故可以得到运动时间．

解答 解：（1）由洛伦兹力提供向心力得：
$qvB=m\frac{v^2}{L}$
解得：
$B=\frac{mv}{qL}$
（2）刚好不能打到MN上的粒子从磁场中出来后速度的方向与MN平行，在磁场中运动的轨迹如图所示．轨迹圆弧对应的圆心角θ=60°，则入射的方向与直线边界之间的夹角是0～120°的粒子通过磁场后能打到MN板上．
（3）从磁场圆弧边界出来的粒子通过磁场的时间最长：
$t=\frac{πL}{3v}$
答：（1）所加磁场磁感应强度的大小为$\frac{mv}{qB}$；
（2）入射的方向与直线边界之间的夹角是0～120°的粒子通过磁场后能打到MN板上；
（3）粒子通过磁场的最长时间为$\frac{πL}{3v}$．

点评 本题关键是粒子在匀强磁场中运动的动态圆问题，关键是画出临界轨迹，结合临界轨迹分析，基础题目．