Question

【题目】如图甲所示，三个物体A、B、C静止放在光滑水平面上，物体A、B用一轻质弹簧连接，并用细线拴连使弹簧处于压缩状态，此时弹簧长度L=0.1m；三个物体的质量分别为mA=0.1kg、mB=0.2kg和mC=0.1kg．现将细线烧断，物体A、B在弹簧弹力作用下做往复运动（运动过程中物体A不会碰到物体C）．若此过程中弹簧始终在弹性限度内，并设以向右为正方向，从细线烧断后开始计时，物体A的速度时间图象如图乙所示．求：

（1）物体B运动速度的最大值；
（2）从细线烧断到弹簧第一次伸长到L1=0.4m时，物体B运动的位移大小；
（3）若在某时刻使物体C以vC=4m/s的速度向右运动，它将与正在做往复运动的物体A发生碰撞，并立即结合在一起，试求在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，设物体B运动的最大速度为vB，有：

mAvA+mBvB=0

vB=﹣ =﹣ vA，

由图乙可知，当t= 时，物体A的速度vA达到最大，vA=﹣4m/s

则 vB=2m/s

即物体B运动的最大速度为2m/s，

答：物体B运动速度的最大值为2m/s

（2）解：设A、B的位移大小分别为xA、xB，瞬时速度的大小分别为v′A、v′B

由于系统动量守恒，则在任何时刻有：mAv′A﹣mBv′B=0

则在极短的时间△t内有：mAv′A△t﹣mBv′B△t=0

mAv′A△t=mBv′B△t

累加求和得：mA∑v′A△t=mB∑v′B△t

mAxA=mBxB

xB= ，xA= xA

依题意：xA+xB=L1﹣L

解得：xB=0.1m

答：从细线烧断到弹簧第一次伸长到L1=0.4m时，物体B运动的位移大小为0.1m

（3）解：因水平方向系统不受外力，故系统动量守恒，因此，不论A、C两物体何时何处相碰，三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，且三个物体速度相同时具有最大弹性势能．

设三个物体速度相同时的速度为v共，

依据动量守恒定律有：mCvC=（mA+mB+mC）v共，

解得：v共=1m/s

当A在运动过程中速度为4m/s，且与C同向时，跟C相碰，A、C相碰后速度v1=vA=vC，设此过程中具有的最大弹性势能为E1，

由能量守恒得：E1= （mA+mC）v12+ mB ﹣ （mA+mB+mC） =1.8J

当A在运动过程中速度为﹣4m/s时，跟C相碰，设A、C相碰后速度为v2，由动量守恒：

mCvC﹣mAvA=（mA+mC）v2，

解得：v2=0

设此过程中具有的最大弹性势能设为E2

由能量守恒：E2= （mA+mC）v22+ mBvB2﹣ （mA+mB+mC）v共2=0.2J

由上可得：弹簧具有的最大弹性势能Epm的可能值的范围：0.2J≤Epm＜1.8J．

答：在以后的运动过程中，弹簧可能具有的最大弹性势能的取值范围为0.2J≤Epm＜1.8J．

【解析】（1）对于物体A、B与轻质弹簧组成的系统，烧断细线后系统的动量守恒，当A的速度最大时，B的速度也最大，由图读出A的最大速度，即可求得B运动速度的最大值；（2）根据A、B系统的动量守恒列式，结合在极短的时间△t内位移等于速度与时间△t的乘积，得到A、B位移xA、xB关系，依题意：xA+xB=L1﹣L，联立即可求得物体B运动的位移大小；（3）A、B、C组成的系统动量守恒，可知三物体速度相同时的速度是一个定值，总动能也是一个定值，此时弹性势能最大．当A与C同向相撞和反向相撞时，根据系统的动量守恒和能量守恒列式求解．
【考点精析】利用动量守恒定律对题目进行判断即可得到答案，需要熟知动量守恒定律成立的条件：系统不受外力或系统所受外力的合力为零；系统所受的外力的合力虽不为零，但系统外力比内力小得多；系统所受外力的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统的总动量的分量保持不变．