Question

18．如图所示，容器中盛有水，PM为水面，从A点发出一束白光，射到水面上的O点后，折射光（发生了色散）照到器壁上a、b之间，如果AP=OM=$\sqrt{3}$ m，PO=Mb=1m，ab=（$\sqrt{3}$-1）m，则从A点发出的白光射到PM上的入射点O向右移动多少时开始有色光消失？移动多少时器壁上的色光全部消失？

Answer 1

分析 由于三棱镜对各色光的折射率不同，导致色散的形成．根据几何关系求出两种色光在O点的入射角和折射角，由折射定律求出折射率，再由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角．结合全反射条件和几何关系求解．

解答 解：设水对射到a点的光线折射率为n₁，全反射临界角为C₁．水对射到b点的光线折射率为n₂，全反射临界角为C₂．光路图如图．
由几何关系可得：
  tanα=$\frac{PO}{AP}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得 α=30°
  tanβ₁=$\frac{OM}{Ma}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，得 β₁=45° 
   tanβ₂=$\frac{OM}{Mb}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，得 β₂=60°
  由折射定律得：n₁=$\frac{sin{β}_{1}}{sinα}$=$\sqrt{2}$，n₂=$\frac{sin{β}_{2}}{sinα}$=$\sqrt{3}$
由sinC=$\frac{1}{n}$得：sinC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，C₁=45°；sinC₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosC₂=$\sqrt{1-si{n}^{2}{C}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
当从A点发出的白光射到PM上的入射点O向右移动时，折射率为n₂的光线先发生全反射，O点向右移动的距离为
  S₁=APtanC₂-PO=AP$\frac{sin{C}_{2}}{cos{C}_{2}}$-PO=$\sqrt{3}$×$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$-1=$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$m
当从A点发出的白光射到PM上的入射点O向右移动时，折射率为n₁的光线先发生全反射，O点向右移动的距离为
  S₂=APtanC₁-PO=AP-PO=（$\sqrt{3}$-1）m
即移动（$\sqrt{3}$-1）m时器壁上的色光全部消失．
答：从A点发出的白光射到PM上的入射点O向右移动$\frac{\sqrt{6}-1}{2}$m时开始有色光消失，移动（$\sqrt{3}$-1）m时器壁上的色光全部消失．

点评 本题是光的色散现象，可以用红光与紫光类比，根据紫光的折射率最大，红光的折射率最小进行类比分析，就比较容易理解了．