Question

3．如图所示，平行金属导轨OP、KM和PQ、MN相互垂直，且OP、KM与水平面间夹角为θ=37°，导轨间距均为L=1m，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒ab和cd与导轨垂直放置且接触良好，ab的质量为M=2kg，电阻为R₁=2Ω，cd的质量为m=0.2kg，电阻为R₂=1Ω，金属棒和导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.5，两个导轨平面均处在垂直于轨道平面OPKM向上的匀强磁场中．现让cd固定不动，将金属棒ab由静止释放，当ab沿导轨下滑x=6m时，速度已达到稳定，此时，整个回路消耗的电功率为P=12W．求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）ab沿导轨下滑x=6m时，该过程中ab棒上产生的焦耳热Q；
（3）若将ab与cd同时由静止释放，当cd达到最大速度时ab的加速度a．

Answer 1

分析 （1）对ab棒受力分析，由于速度达到稳定，即此时合外力为零；再据电学公式求解B．
（2）ab运动稳定后，其下滑速度已经达到稳定，ab棒减小的重力势能转化为其动能、摩擦生热和焦耳热，根据动能定理和电学公式求产生的热量Q．
（3）分别对两棒为研究对象，利用合外力为零和牛顿第二定律列方程求解，注意二者之间安培力的联系．

解答 解：（1）ab棒速度达到稳定，即达到最大速度做匀速运动，有：
Mgsin37°=BI₁L+μMgcos37°
整个回路消耗的电功率为：P=BI₁Lv_m；
则得ab棒的最大速度为：v_m=3m/s        
又整个回路的电功率又可表示为：
P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{（BL{v}_{m}）^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
解得：B=2T                    
（2）ab棒下滑x=6 m过程中，根据能量守恒：
  Mgxsin37°=μMgxcos37°+Q_总+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
将 v_m=3m/s代入解得：W=15J
ab棒上产生的焦耳热为：
Q=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}{Q}_{总}$
解得：Q=10J                     
（3）cd达到最大速度时，满足：
 mgsin53°=μ（mgcos53°+BI₂L）
可得：I₂=1A                          
此时，ab棒的加速度满足：
Mgsin37°-μMgcos37°-BI₂L=Ma     
可得：a=1m/s²．
答：（1）磁感应强度B的大小2T；
（2）ab沿导轨下滑x=6m的过程中ab棒上产生的焦耳热10J  
（3）若将ab与cd同时由静止释放，当cd达到最大速度时ab的加速度为1 m/s²．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是计算安培力的大小和分析能量怎样转化，根据平衡条件和能量守恒进行研究，计算过程中特别注意质量不要带错．