Question

18．如图所示，将可视为质点的A物体从倾角θ=37°的光滑斜面由静止释放，此时B物体刚好从O点开始以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右运动．已知A物体初始位置距斜面底端O的距离L=3m．不考虑A物体在转折O处的能量损失，A、B物体与水平面间动摩擦因数μ均为0.4，重力加速度g=10m/s．求：
（1）A物体到达斜面底端O点时间；
（2）A追上B时两物体相距O点的距离及A所用的总时间（答案可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出A物体在斜面上下滑时的加速度，再由位移时间公式求A物体到达斜面底端O点时间；
（2）由速度时间公式求出A物体到达斜面底端时的速度大小，由牛顿第二定律求得A、B两个物体在水平面上滑行时的加速度，由速度公式求出两个物体速度达到时所用时间，并求得此时两者相距的距离．由运动学公式求得两个物体停下时所经历的时间和位移，再根据两个物体的运动情况求时间

解答 解：（1）根据受力分析知物体A在斜面上下滑时的加速度 a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ=6m/s²．
     由运动学公式可得 L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：A到达斜面底端的时间 t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{6}}$=1s
（2）当A物体到达斜面底端时速度v_A，此时B物体的速度为v_B，相距O点的距离为x₁．
由速度公式可得 v_A=at=6×1=6m/s
由牛顿第二定律知：A、B物体在水平面上滑行的加速度大小均为 a′=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²．
则 v_B=v₀-a′t=5-4×1=1m/s
x₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}t$=$\frac{5+1}{2}$×1=3m
设再经时间t₁B物体停下．则得 t₁=$\frac{{v}_{B}}{a′}$=$\frac{1}{4}$=0.25s
运动的距离 x₂=$\frac{{v}_{B}+0}{2}{t}_{1}$=$\frac{1}{2}×0.25$=0.125m
设A物体经过距离x₃停下，则 x₃=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a′}$=$\frac{{6}^{2}}{2×4}$=4.5m
由于x₁+x₂＜x₃，故A物体追上B时，B处于静止
则A追上B时，两物体相距O的距离 x=x₁+x₂=3.125m
由位移公式可得：x₁+x₂=v_At_A-$\frac{1}{2}a′{t}_{A}^{2}$
代入数据解得 t_A1=$\frac{6-\sqrt{11}}{4}$s，t_A2=$\frac{6+\sqrt{11}}{4}$s（舍去）
A追上B时，A所用总时间为 t_总=t+t_A1=1s+$\frac{6-\sqrt{11}}{4}$s=$\frac{10-\sqrt{11}}{4}$s
答：
（1）A物体到达斜面底端O点时间是1s；
（2）A追上B时两物体相距O点的距离是3.125m，A所用的总时间是$\frac{10-\sqrt{11}}{4}$s．

点评 解决本题的关键要分析清楚两个物体的运动情况，边计算边分析，再根据追及时位移关系、时间关系进行列式．