Question

4．一颗卫星以轨道半径r绕一半径为R的行星做圆周运动，运行周期为T．已知万有引力常量为G，求：
（1）该行星的质量为M
（2）该行星的表面的重力加速度g
（3）该行星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出行星的质量．
（2）根据行星表面万有引力等于重力得出行星表面的重力加速度．
（3）根据行星表面万有引力提供向心力求解第一宇宙速度v．

解答 解：（1）据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$可得：
$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：
g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
（3）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$得：
v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{R{T}^{2}}}$
答：（1）该行星的质量为M为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）该行星的表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（3）该行星的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{R{T}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用，难度适中．